LV. — REMARQUES SUR UN MÉMOIRE DE POISSON
I. Dans le 18' Cahier du Journal de VÈcoJe Polytechnique , Poisson donne l'imporlante formule
mais il y parvient au moyen des deux intégrales indéterminées
SI 11 px clx , I —^ —^^ sin px clx :
Poisson les suppose, respectivement, égales à- et à- — -.
Il y u plus : ce grand géomètre obtient la première val. ur en faisant /^ == 0 dans une formule qui suppose t > 0, et la seconde, en faisant 9 = - dans une intégrale qui exclut cette valeur-limite. La formule (A) n'est donc pas rigoureusement démontrée. Mais il est facile de rectifier la méthode employée par Poisson .
En effet , à cause de
-■in ;iJ
on a d'abord
ainpxdx x:^-^ I ,.-2«,Tx^. /^'V^ P
V / e' '"^^ s'm px dx = y ,
^ , / Âd, p* 4-.in»7T»'
ou
ysin px dx p ^'^ 1
.^--i^-î^l^, ZT7'
Mais, d'après une formule connue (*),
donc
sin px dx i \ p e- + e ^ j
ce qui est précisément ia relation (A).
II. Cette formule (A) peut être considérée comme un caslimite d'une formule plus générale, à laquelle on parvient aisément en partant de l'équation
smpxdx (1),
e^ + i2 cos G
démontrée par Poisson (**).
En effet, le second membre est la même chose que
(*) Traité élémentaire des Séries , p. 115.
(**) Journal de l'École PoW technique , ISeCaliiei', p. 297.
2 / ^-^rr--T7: e~-'''^' sinpxdx
e ' smpxdx + 2 I z r — siii /).•:
Lorsque 0 est inférieur à r., chacune de ces intégrales est
finie et déterminée : la première a pour valeur (*) f- — ^r- ;
^ ^ ^ ^ /r + (ir ~ G)' '
donc
OU
r, sin pxdx = -. '. — - (B).
III. Si, dans cette relation générale , on suppose successivement
(•) Jovrnal de l'École Polytechnique , lô* Cahier, p. 219.
on trouve
sm px dx = - -^^ -; , , (G) ,
sin pxdx 1 e'' — 1
sin /jx dx le''—! 1
La dernière formule ne diffère pas de (A). Elle est, comme nous l'avons annoncé, comprise dans la relation (B)(*); mais, à cause de l'hypothèse G < -, d'où l'on est parti, une démonstration directe était nécessaire.
IV. Multiplions les deux membres de l'équation (B) par dO , et intégrons à partir de 0 = 0. A cause des formules
-9- , ^ -^' e dx = — -—
dô
(j'' + 2 cos 9 + e"''
;*) Celle-ci est due aussi à Poisson (Mars 1S67).
— 192 ^ que l'on vérifie aisément , nous aurons
ave tff
" ;;* + TT (tt — G) '
OU
\e- —e - jl g^ -' 4-e ^ - 'Jsin
px
dx
V. Soit, comme cas particulier, G = ^ : la dernière formule devient, après quelques simplifications.
■ZX n- X
e' —e- +1 sinwa; , , / e~\ \ pu
-•^* — '—dx=arcm j— r/rclg
Le premier membre se décompose en
dx.
D'ailleurs (*),
e smpx , . V — dx = arc tg - ;
f ) Journal de l'École Polytechnique, 16<^ Cahier, p. 220.
— 19; doue
"\. ■ — :— f^'^ = «^^ 'g — - «''C tg ( -r- ) (F)e +1 't- '•
VI. Si l'on prend les dérivées des deux membres, par rapport au paramètre j?, on a encore
cos px dx 271 e^
e- [e +[] et , en supposant p = 0 :
formule presque évidente
XLVI. — SUR LA SOMMATION DE CERTAINS COEFFICIENTS BINOMIAUX (1861) (*).
I. Problème. — Dans le développement de (1 -}- z)"' , on prend les ternies de p en p. Quelle est la somme de leurs coefficients? (VexT^Osant m est supposé entier positif) (**).
Représentons par S„ , S,,..., S^i les sommes dont les
premiers termes sont 1 , — ,... , — ^ — -—^ -j-, .
(*) Extrait des Nouvelles Annales de Mathématiques , tome XX.
("') Un jeune géomètre, M. Haton de la Goupillière, a résolu la même question pour le cas d'une fonction quelconque. Néanmoins, à cause de la simplicité du résultat exprimé par la formule ( C) , j'ai cru pouvoir le faire connaître.
Soit 0 une racine primiliue de i'équalion
En remplaçant %, successivement, par 0, 0% . . . , ô', nous aurons, en vertu de cette équation ,
^ Ci).
II. Pour tirer, des équations (!2), la valeur de St, il suffit de les ajouter membre à membre, après avoir multiplié par 0-^ les deux membres de la première, par G--* les deux membres de la deuxième, etc. En effet, le coefficient de S/.', dans l'équation résultante, est
attendu que k' gI k, étant inégaux et inférieurs à p, G''"'" est une racine primitive de l'équation ( 1 ). Par suite ,
;,S, - (1 + Gf 0 -'■ + (1 -f- G'Y" 0-'' + • • • + a + 6')'" 0''' (3;.
