XLVII. — SUR LE THÉORÈME DE FERMAT

I. A la page 4 du Mémoire de Legendre {Académie des Sciences, 1863), on lit :

« p est divisible par x + y. Par une semblable raison p" est » divisible par y + ^ et par % -\- x. Donc n étant un nombre « impair quelconque, j?" sera divisible par le produit

Dans sa démonstration, Legendre a égard à l'équaLion

( * ) Le Mémoire roule sur l'équation .r -f v" 4- ^" = 0 ; ^3 représente x -{■ y + z.

dont il s'agit de prouver l'impossibililé , x, y, z étant des entiers, positifs ou négatifs; donc ii ne peut être question que de divisibilité numérique. Or, rien ne prouve que les nombres x-\-y, y-h%. z + x soient premiers entre eux, deux à deux; et, par conséquent, la démonstration laisse à désirer. On peut la compléter comme il suit :

est divisible, algébriquement, par les binômes x + y, y + z, z+x.Donc, ceux-ci étant des quantités premières,? est divisible, algébriquement aussi, par le produit {x+y){y+%){z+x). Si l'on remplace x, y, z par des nombres entiers quelconques, le quotient Q deviendra un nombre entier ; et, si Véquation (1) est vérifiée par les valeurs attribuées à x, y, z, p" sera divisible, numériquement, par {x + y) {y + z) {z + x). D'après le Théorème de Fermât, non encore démontré, l'équation (1) est impossible en nombres entiers ; donc a , b , c étant des nombres entiers, {si + h + cY n est peut-être jamais divisible par