X -hZX + Z X +■■■■{- X

Par conséquent , si nous représentons par H, [x, %) la fonction homogène

X + ZX +Z X -h • • ■ + z ,

nous aurons

OU

n-2 /'î/ ^Wn-3 , 2 2. n-4 ,3 2 , 2 3. n- 5 WQ\

3" Le quotient de la première ligne , par œ + z = p ~y, est

et le reste :

y - + n^{x,z)V +nAx,z)ii +• • • +ll„,,(a:,:0

{* ) Ici , U, — X + 1/ + z , Hj = X- + 2/' + s* + î/î" + -i»' -f- i>"2/, etc. Voyez, sur ce point, la Note XL, p. 160.

Donc

n— *> fi — S ' 2 n — 4

■{y —zy +z y — . . . ~z )J.

Les fonctions

E, {x,z) — X + z, H, (x , .:•) = a^" + zx- -r- z^ x + z' , Hs (a: , :i) — rr' + zx* + t-'rr'- + ;.' .r* + z' x + z\ . . ,

sont divisibles par .x + z : les quotients

sont des fonctions homogènes de œ-, z-; par conséquent

+ ?/""" + H, (,'C-, -') ?/"'■' + H.Cr' , z-)y"~^ -f- • • • + H„3(./,0

j-!-: r?/"~' + H, {X, z) y"~ V H^ ix,z)y'~'^ + • • . + H„3 (--c, s) y + x"~' — {y — z) x"~''' + (?/■ — yz + z') x'""* — ....

La première ligne entre parenthèses, ordonnée par rapport aux puissances décroissantes de x, devient

yx +yzx +(?/:. +y )x +(ijz +y z)x +(î/s +y z +y )x +■■•

+ yz +y z + • ' ■ +y z +y

donc la quantité entre parenthèses égale

a; -f- :îa; + (?/ + :v )a; +{y z+z)x -h{y + y z -hzjx

■i-iy Z + y Z -hz)x + ... -\-y z + y z + .-. + z c'est-à-dire

a:; +zx -hUAy ,z)x -+■ H (y , :5 ) zx ■+- H., (y , x ).'r

+ nAy~,z')zx" ' -h • • ■ + z\l^^{y',z}. De là résulte

4-f ^+l\.{x,z-)y' ' 4- H Jo;',:;.') ?/""'+...+ H .(.r",:;') f

+ .r" ■ t- Hj (//", s") .t" "^ -f H., (?/", ::.' )x' 'h + H .,(?/", î-')

OU, plus simplenient

Q" = jy"~VH,;/'""V H,//'~''+ • • • + n„., + 2H„3(.x",?/",2;") (5).

En effet, chacune des deux dernières lignes de la formule (4) représente la fonction homogène de x"^, y-, z^, du degré n — 3.