III. Comme application , prenons n = 7; nous aurons
{x+y+zy—x''—y''—%'
{y + z){z + x){x + y) =^ (■^• + ^ -^-)- + i^- + V + ^}(.i' + V ^zf
■+ (x- + if + z^ + yz + zx + xy){x -i- y + zY
+ {x' + y' + z^+y'z^ yz'+z'x+zx'+xHj+xy^+xyz) (x ■hy-{.z)\{6).
+ X* -hy* + z' + y'^z + ijz^ + z^x + zx^ + x^'y -\- xif
+ x^yz + ifzx + z'xy + y-z- -+- z'x- + x-i/-
+ 2 («* + ?/* 4- 2* + îfz- + z^ic- + x^y^)
IV. Divisons par y + ^ le polynôme entier Q" ; représentons par A le quotient et par a le reste, de manière que
iy + z)iz+xHx-i-yr ^ ^ ^^^ "^ ^^ "^ "'
La règle ordinaire donne
Conséquemment
et, par une permentation tournante,
Q" (if — x') = B (> + x) iy'—x') + »(?/""' — a""') ,
Q" (3;- x") = Cix+ y) {z- - /) + n (z"-' - y"-\
Ajoutant ces trois égalités , nous trouvons
A{y + z) {x' - z'} + B {z + X) {f — x'-) + G (.x + y) (2,« - if) - o.
Les deux derniers termes sont divisibles par x + y; donc A est également divisible par ce binôme. Autrement dit :
Le polynôme Q' n'est généralement pas divisible par y H- z; mais, A désignant le quotient entier de Q" par y + z, A est divisible par y + x. De môme, le quotient de Q" par z + y est divisible par x- + .r; le quotient de Q" par z- -+- x est divisible par % + y; etc.
V. Si X, y, z sont remplacés par des nombres entiers, In propriété précédente peut être formulée ainsi :
= gUL • (?/ + -) (y + ^) ^ (Mo ^y + -•) ^^' + •'''-' (")•
Par exemple ,
= 210 = oi3..i2=^Gi^.30.
De môme , quand x = z = i, eiy = 3 :
-10- 80- cilib. Iti
5» — 3^' — 2 5 . .4 3 125 — 243 — 2 , ,. ^,. lîl
xLvin. — SUR l'équation du troisième degré (1861) (*).
I. En désignant par A^^ la somme des puissances n'"'""' de l'équation
x:- + px + q =-- {) (11,
on a , comme l'on sait,
(*) Comptes-Rendus , tomae LIV, p. 659.
à partir de n = 3. En môme temps ,
II. Si l'on forme successivement les valeurs de A. , A^ , A^ , . . . , on trouve bientôt qu'elles sont comprises dans les deux formules
(A-,-3)(fc-4)(/r,-5)(/r--6) /,7 r. .
(fe-4)(/i; — 5)(/(;— 6)(A;— 7)(A; — 8)(/c-9) ,,.io i
il: - i) {k - 5) {k - 6) (fc - 7) (fc - 8) .-9 0 1 2.3.4.5.6' ' *■•• J J
dont la vérification est facile (*).
III. Le cas particulier de /? = 1 , q = — i conduit à un résultat curieux.
On trouve , en effet , à cause de
Ainsi, au moins jusqu'à une certaine valeur de n, le nomhre entier A„ est ou n'est pas divisible par n , suivant que n est ou n est pas premier. Au moyen de la formule (3), on démontre aisément la première partie de cette proposition.
(') On floit prendre les signes supérieurs si h est pair.
Si la seconde partie était également démontrée, on aurait un critérium analogue au Théorème de Wilson (mais incomparablement plus simple (*)), pour reconnaître si un nombre est premier ou non premier.
IV. Si Ion suppose p = — i, q = ~ l, on trouve des résultats analogues à ceux qui viennent d'être indiqués :
A, = i , \, - 3 , A, = 2 , A, = 5 , A« = 5 , A, = 7, A, = 10 , Ab-12, a, ,-22 = h. 2, A„-2^, A„ = 39 = 13 . 3
Addition. — {Juillet 1866).
V. Quelque temps après la publication de la Note précédente, M.Eisenlohr {**) démontra l'inexactitude de la proposition que j'avais énoncée sous forme dubitative. Malheureusement, M. Eisenlohr prend, pour point de départ , l'équaliou
qui n'est nullement évidente : la démonstration proposée est donc incomplète (***).
Les choses étant ainsi, j'ai cru nécessaire de continuer, beaucoup plus loin que je ne l'avais fait, le calcul des sommes désignées par A„ . On verra, par le tableau suivant, que Ai2i est divisible par 121 ; donc A„ peut être divisible par n , sans que n soit premier.
(*) Les valeurs de A„ ci'oissent très-lentement : A,, — 3, A„ — — 26 924. (**) Comptes-Rendus , tome IX, [>. 04.
(*") .le n':i(ïîrme point qu'elle soit fausse.
Sommes des puissances n' ""' des racines de l'équation
'SSâ
XLIX. — RAYON DE LA SI'HÈUE CIRCONSCRITE A IN POLYÈDRE SEMI-RÉGULIER. (mARS 4862) (*).
Le centre 0 de la sphère, les centres C, C de deux laces adjacentes, et le milieu P de l'arête c commune à ces deux faces, sont les sommets d'un quadrilatère OCPC, dans lequel les angles C, C sont droits : ce quadrilatère est donc inscrit à la circonférence décrite sur OP comme diamètre.
Représentons par p , q les diagonales OP, CC; par a l'angle GPC; par a, «' les apothèmes CP, G' P des faces dont C, C sont les centres. Soient, en outre, n, n' les nombres de côtés de ces faces , et w" le nombre des côtés de la face qui, avec les deux premières, constitue un angle trièdre du polyèdre (**).
La diagonale OV = p est perpendiculaire au milieu de c\ donc, R étant le rayon de la sphère circonscrite,
La corde G G' sous-tendantun arc capable de l'angle «, dans une circonférence dont le diamètre est p ,
De plus,
r/* = a- -h d'" — "2 au' eus a (3).
La formule fondamentale de trigonométrie sphérique donne ensuite , comme on le voit aisément ,
C) Question résolue à l'occasion de mon Mémoire sur la Théorie des Pol y èdrei (Journal de l'Ecole Polytechnique , 41« cahier;.
(**) Voir le Mémoire cité. Voir aussi la brochure intitulée ; Histoire d'an Concours.
Enliii (*
-Ir. Il- ^r
eus — rr H- COS COS
co. a = . 27: . 27t ^^^-
sin — sm — 7-
-^ col — (o), fi' = ^col 4- (6)-
Il s'agit donc d'éliminer p, q, :^-, a, a' entre ces six équations.
Pour simplifier l'écriture , posons
et nous aurons d'abord , en éliminant a, a' :
ij^ = — (col' X + cor y. — "2 cot À col (J. COS a ) (8),
COS :2 V + COS 2 À cos "2 'j. ,.,
sm 2 ?. sm 2 u
On conclut, de la dernière formule,
, C0S(/4-,v.4->)C0S(a-f-V — /.)COS(v + /. — 7.)C0S(/+/jl — >) •
sm- a = — i i '-—. — -Y^ — - — - — '— ^ — ! '. ,
(sm 2 Asm 2 y.)*
col' A + col- ,u. — 2 cot A cot y. cos a —
, sin A sin u. j ' donc
c cos V ~ 2 sin A sin «
(*) Voir le Mémoire.
et
eus' / cos- u. cos- V
cos ( /+ rjr.+ >) COS (y.+ V— /) cos (> +/ — u) COS (/.+ U — v) '
La substitution dans (1) donne ensuite
Tj, ^\a__, cos" 1 cos' [j. cos- y 1
4L cos(>+,v.+v)cos(fjc+v— /)cos(v+/— f;.)cos(/+^7.— v)J^ ^'
OU, par un calcul que nous omettons (*) ,
c* (cosA-|-cos,«+cosv)( — cosA4-cosy.4-cosv)(cos/ — cos/^+cosvj(cos>-f-cos// — cosv) 4 cos{A + //4-y)cos(//. + v — A)cos(v + / — ,</.) cos{A4-/ji — v)
