IV. Si , après avoir mis la fonction îj sous la forme

— X i -hx i+X — X — X

on prend la dérivée , on trouve

Le polynôme entre parenthèses est divisible par 1 — x\ donc , Q représentant le quotient ,

Ecrivant ainsi le polynôme dividende :

{n + 1) (1 — /) (1 - x") ~ (1 a;')- • • • - (1 ~ x") , on a, immédiatement,

Q=(l+x)+2(.'C-+a:V3(.x'^/)+--.-2(a:-'"'W""'V(a;'''"~'^a;'""')n(ll).

V. Malgré la complication du polynôme Q, on s'assure aisément qu'il ne peut admettre, comme diviseurs réels, que 1 — a; et 1 + ^ (**).

En eifet , de

{\—x)Q=l+ X' +x' + ... + x'" — {n 4- 1) a;" , résulte

(1 - X) (1 — X*) Q = 1 - X-" ' — ui + i) x' + {n + 1) x"^' ;

et l'équation

n'a pas plus de quatre ou de six racines réelles, suivant que w est impair ou iiair. Or, dans le premier cas, cp {oc) est divisible par (l — x)' (1 + x); et-, dans le second, cp {x) est divisible par (1 — xf (1 + xf\ etc.

VI. D'après cette discussion sommaire, la fonction y a un seul maximum, répondant à .r = 1, et dont la valeur est n + \\ elle a aussi un seul minimum, répondant à a^ = — 1,

minimum dont la valeur est 0 ou r , suivant que n est

impair ou pair.

(*) Suivant que n est imx)air ou pair, la partie centrale du polynôme est

rL±lL"-'^"j ou ^|^,"--'+.V'~'j-||^"+^"-^'j. Dans ce dernier

cas, le polynôme est divisible par 1 -\- x.

('*) D'après la l'ormule (10) : 1° Q est toujovrs divisible par 1 — x; 2° Q est divisible par 1 4- x quand n est pair.

Ll. — SL'R LES NORMALES A UNE SURFACE (JANVIER Î863).

I. Dans le Journal de l'Ecole Polytechnique (38'' Cahier), M. Abel Transon démontre ce remarquable théorème, du à Stiirm (*) :

« Soit AN la normale d'ane surface au point A; toutes les nor- » maies, relatives aux points voisins {**) de X, rencontrent les deux » droites élevées perpendiculairement à AN dons les plans des deux » sections principales et par les centres de courhure de ces deux » sections respectivement. »

Si l'on remplace la surface S par l'ellipsoïde osculaleur en A, et si l'on considère la section s de cet ellipsoïde par un plan parallèle au plan tangent en A , et infiniment voisin de celui-ci (***), les normales en tous les points de « rencontrent les droites dont il vient d'être question. On peut se demander si , la section s étant située à une distance finie de A, la même propriété subsisterait. Et comme on peut substituer, à l'ellipsoïde, le cône droit circonscrit suivant s {****), la question revient à celle-ci :

Les normales à un cône droit, ù base elliptique, menées en tous les points de cette base, rencontrent-elles deux droites fixes?

II. Prenons, pour plan horizontal de projection, le plan même de la base du cône; et, T~J pour plan vertical , celui de la section principale as'b. Les traces du plan tangent en un point quelconque {m, m') de la base sont la tangente mt et la

{') Comptes-Rendus, tome XX, p. 1241.

{**) Lisez : infiniment voisins.

(***) La courbe s est l'indicatrice de S , pour le point A.

(*■") La courbe s est dans un plan parallèle au plan d'une section principaUi "le l'ellipsoïde.

droite ^s'. Par suite, la projection verticale de la normale est m'iV perpendiculaire à ts'.

Les triangles sm'r\ ss't, sont semblables; donc

m's r's s s' ~ sî '

ms . st = ss' . r's.

Mais , par une propriété de l'ellipse ,

m's . st = as' — a î donc

h étant la hauteur du cône.

La distance r's étant constante , il s'ensuit que les normales rencontrent une droite fixe, projetée en r'. Si l'on avait projeté sur le plan de profil s'sr', on serait arrivé à une conclusion semblable. Ainsi :

THÉORÈME I. — Les uonuales à un cône droit, à base elliptique, menées en tous les points de cette base, rencontrent deux droites fixes A, B, perpendicidaires à l'axe du cône, et respectivement situées dans les deux plans principaux.

IIL D'après ce précède (§ I), cette proposition peut ôlre généralisée en ces termes :

THÉORÈME n. — Les normales à une surface du second degré, en tous les points d'une section parallèle à l'un des plans principaux , rencontrent deux droites fixes , perpendiculaires à l'axe principal correspondant, et respectivement situées dans les deux autres plans principaux.

IV. Revenons au cas du cône; appelons «, (3 les distances des droites A, B au plan de la base. Nous avons, d'après l'équation (1) :

Il ^ h

Si a est pris arbitrairement, il en résulte

et , par conséquent :

THÉORÈME ni. — Si les normales à une ellipse rencontrent une droite fixe A, parallèle à l'un des aies, et située dans le plan passant par cet axe, perpendiculairement au plan de la courbe, elles rencontrent aussi une droite fixe B, parallèle au second axe, et située dans le plan passant par cet axe, perpendiculairement au plan de la courbe.