MR ^ MS ~ MN

Cette relation prouve que les points R, S divisent harmoniquement la corde MN. En effet, PQ est la polaire de S.

III. Rapportons l'ellipse à son centre et à ses axes; puis cherciions le lieu du point R. Il est facile de voir, par le théorème deFrégier, que ce point est situé sur le diamètre M'.\I" conjugué de OM. On a donc , simultanément ,

aV -f- /^'x' = a«^' (6), L=-| (7),

a^x'rj ~ b*xy' = c*xy (8).

D'après l'équation Ci) Je lieu du point R est une ellipse sem-

b/able à l'ellipse donnée. Éliminant x et // , on trouve

IV. Le point S étant l'intersection de la normale en M avec la polaire de R, il faut , pour trouver l'équation du lieu cherché, éliminer x, y, x' , y' entre les équations (G), (8), (9) jointes à

ivay — b^(ix = c^xy (10),

«'î/'(3 + b*x'a = rtV;' (M) :

dans celles-ci, «, |3 représentent les coordonnées de S. On satisfait aux équations (6), (8), (9) en prenant

cic* bc*

x = aco&(p, y = bsu\(p, x' = — r- coso, )/' = siiics.

^ " ^ ' a- -h b' ' ■' rt- -+- b'' ' '

Ces valeurs, substituées dans les équations (10), (11), les transforment en

aoL sin ^ — /j|3 cos cp = r- sin © cos o (K)'),

i/acos cp — a\ù sin q? = , (H'i;

et il ne reste plus qu'à éliminer 9.