III. Si l'on combine l'équation (5) avec celle-ci

et que l'on change ensuite x m'^ x , on trouve cet autre développement :

Il 111

— ^l{cosx) = shVx — -&m-'-2x+ -sm^'6x—ys\nHx + ' • • .(8).

IV. La série (5) peut être rattachée à l'intégrale définie J 1 + aj' / 1 -+- a;' 1 \ + x*

(*) Comptes-rendus, tome LIV , p. 1031. Les coefficients AjjA,, A^, sont égaux aux Nombres de Bernoulli, B, , B, , Bj . . . , divisés par 2, 24, 720...

OU

ou encore

en supposant

En efiet , si l'on remplace x par tg (p , on a

G = ~ / l(tg?)rf(p (H).

Mais

](tg(?)= l(^^)+l(p-lcos(p (12).

Pour développer 1 f^^j , représentons par % cette fonc' tion ; nous aurons

dz ç cotip — 1 OU , à cause de (**)

(*) Mémoire sur la transformation des Séries (Académie de Belgique, tome XXXIII, p. 32). Les formules rapportées ci-dessus datent de 1859. (") Comptes- RendA'.s , t. LIV. ^. 1031.

— 2i>8 e cut;p ~ 1 = — i Ai 'J 4- -i' A, 'i* — -4' Au tp" + • • • :

cp 2 4b

Et comme

1 (costp) = — l2 4- cos 2(p — ^cosicp + r-cosetp—r COS8©+--'(5), l'équation (12) devient

l(tg^) = -4A.|+4=A,£^~4'A.|+ . . . +1(2?)

— cos2<p + -cos 4 © — - cos6(p + -cosS? — . . .

Multipliant par rf-f les deux membres, et intégrant, nous trouvons

/-\' 4' AW7:\^ 4' A, \t.\ , r. , {-\ r.

4Aj /-\' 4' Aw7:r 4' A, ^7r\

La dernière ligne a pour valeur — - ; donc