III. Courbes de niveau. — Soit p la projection horizontale
(*) Ces résultats, peu importants peut-être, sont beaucoup plus simples que ceux qui ont été trouvés, par Legendre et Serret, relativement à l'intégrale elliptique de première espèce. (**) Pour fixer les idées.
(*") Nous le supposons égal à 45», afin d'obtenir des résultats simples. (") Toute surface réglée^ qui admet une directrice rectiligne, est gauche. {Traité élément aire de Géométrie descriptive, d86i, seconde partie, p. 72). C) Recherches sur les surfaces gauches, p. 22.
d'un point P de 1. A cause de Thypothcse sur l'angle zGP, les triangles GOin, Vp)n, évidemment semblables, sont isoscèles : mp = Pp. Pour une ligne de niveau, l'ordonnée Pp est constante; donc mp = z = const. Autrement dit : toutes les lignes de niveau, de la surface 2 , se projettent, sur le plan de l'une d'elles, suivant des. conchoïdes de celle-ci, relativement au pôle 0 (*).
IV. Équation de la surface. — Si la directrice amb est représentée par u = a/"(w), il est clair que l'équation de 2 est
u = af{co)-\- z. (\)
V. Normale. — La normale à 2, au point P, étant normale à la ligne de niveau qui passe en P, se projette, borizontalement, suivant la normale, enp, à la concboïde cpd. D'après une propriété connue, cette normale />?i passe en un point fixe m, situé sur la perpendiculaire à Omp, menée par le pôle. Donc les normales à la surface 2, en tous les points d'une même génératrice, rencontrent îine droite fixe nQ, parallèle à la directrice Oz.
VI. Paraboloïde normal. — Chacune des normales considérées rencontre GIl et nQ. En outre, elle est contenue dans un plan perpendiculaire à GII. Conséquemment, le lieu de ces droites est un paraboloïde hyperbolique , conformément à un théorème connu.
Addition. — (Novembre 1886.)
VII. Lignes déplus grande pente. — Elles se projettent, sur le plan horizontal, suivant les trajectoires orthogonales de la directrice amb et de ses conchoïdes. D'après la formule (1), dans laquelle z doit être considéré comme un paramètre, l'équation dinérenticlle des conchoïdes est
u' =-■ (if'{u).
{') Quand la dirocirice cwih est rcctUiguc, la siirfaco, nomniéi' Ityperboloïde conchoïdal, est fort inléressaiile. Le modèle en a été construit par Bardin et par M. Muret. De plus, au mois de juin 1870, M. \r(7.<(7(, alors clève à rlîcoh' polytechnique, a publié, sur ectle nicmc surface, une étude et une épure fort bien faites. J'i}:;nore ce qu'est devenu ce jeune Géomètre.
Une simple considéraliori gôomélriquc, combinée avec le théorème rappelé ilans le |)aragraplic V^, donne
(lo> f'{u)
OU, par la séparation des variables,
"{n-Tj-./ m- '''
k étant la conslanle arbitraire. Telle est l'équation qui était demandée.
VIII. Application. — Dans le cas de Vhyperboloïde condioïdal,
léquation (1) est
sm w
et l'équation (2) :
i 1 \ /''" suvudu
i H k ou
<.(l^)=sin.r.%(5 + -;)- '"
On voit que la constante k est le rayon vecteur répondant à w = 0.
IX. Remarques. — 1° D'après l'équation (2), le problème des trajectoires orthogonales d'une série de concho'ides est toujours résoluble (**).
2° Si, dans l'équation (2), on pose :
elle devient
(*) Nous prenons Taxe polaire parallèle à la directrice, afin que l'intégrale (2) s'annule avec w.
(**) En ce sens qu'il est ramené aux quadratures.
et celle-ci, de même forme que la proposée (I), représente une nouvelle série de conchoïdcs. Conséquenimenl : les réciproques R, IV, K ', ... (ou les inverses) (*) des trajectoires orthogonales T, T', T ', ... d'une série de conchoïdes C, C, C ', ..., forment une nouvelle série de conchoïdes.
3° Ce ji'est pas tout. Comme les réciproques de deux courbes orthogonales sont orthogonales (**), si nous prenons les réciproques D, D', D ', ..., des conchoïdes C, C, C", ..,, ces ligriesD, D', D", ..., constitueront, avec R, R', R", ..., un système orthogonal. Nous pouvons donc énoncer la proposition suivante :
Théorème. — Soient des conchoïdes C, C C", ..., leurs réciproques D, D', D", ..., et les trajectoires orthogonales T, T', T", ... de D, D', D", ... Les réciproques [\, IV, R", ..., de T, T, T", .... sont des conchoïdes, orthogonales aux réciproques D, D', D '.
X. Application. — Si les courbes C sont les limaçons de Pascal,
représentés par
1/ = asin w -+- z,
auquel cas les réciproques D ont pour équation :
asm w -f- z
alors les trajectoires orthogonales T et leurs réciproques R sont déterminées par les formules :
afi — -] =P.[ii{- -, - \u kl ^ ^V2 4;
(') La relation mi' = «- est celle qui dclinil deux lignes rceiproques. [") Propriété connue.
(***) Évidemment, ces réciproques sont des coniques dont l'un des foyers est au |)ôle.
(") Si l'on suppose / = 0, on peut écrire ainsi la dernière équation :
t / '■ sec « = - e° -H f " 1 .
Les conchoïdes II sont donc des spirales-c/mhivttrs (.').
€€X1LI1. — fSiir la fonction uiimériquc 'z>{n) (*).
(Août ISS^.)
I. Problème. — A ctcuit wi diciscur quelconque du nombre entier N, évaluer ^^j- '
Soil, pour (ixer les idées, N = a^b^c^. Les valeurs de A sont :
I, a, «*,..., «*, bj)^, ...,l)^, c, c", ..., c'', ah,a^b, .., N;
el les valeurs de (p(A) :
c — \, c(c— 1),.., rv-'(c-l);
Donc
2cd(A) a— I a— 1 a-1 6—1 6 — i 6-i -: = I -f- 1 1 1 1 ; 1 H- H r— A a a a b b b
ce- C ah
ab au ■+-
abc
Dans le second membre, il y a a fois la fraction î^, (3 fois la fraction ^, y fois la fraction ^-^, a[3 fois la fraction
; etc. Ainsi Tégalité se réduit à
ab
(A) a(fl— 1) pJ>—\) r{c — i) ap{a — i){b—l)
abc ab
apy(a-l)(6-l)(c-l), ^,^
(*) Au sujet de cette fonction, déterminée par Euler, on peut consulter le Journal de Lioitville, t. IV, p. 7.
puis enfin, à
rie - 1)"
La formule cherchée est donc
II. Remarque. — Cette formule, peu élégante, se simplifie quand N = a''b''c'd'^ . . Dans ce cas.
S = abcd..
Addition. — (Janvier 1887.) III. PuoBLÈME. — Évaluer 2^, •
De l'égalité (A), on conclut, sans nouveau calcul
et, SI
