II
/t'co
s h /'cos q (OS -
Les valeurs des inconnues ?w, «, p, 9 se présentant sous la formel, on doit, pour démontrer le théorème énoncé (lo), recourir à la Géométrie (***).
(*) Dans les foriniilcs dr (^imiiict.
^r>j'^'-i''fg - »•
("*) J'ai essayé de résoudre, directenieiit, les équations (20), (25) ; mais, à eause de la complication des calculs, cette tentative n'a pas réussi.
l'ropriétcs a uxiliu ires .
18. Si l'on se reporte à la figure 2, on voit que le ihéoréme, dont il s'agit, peut être énoncé en ces ternies :
Soit un quadrilatère non convexe, FAWG , dont la base FG est donnée, les autres côtés ayant des dihections données (*).
Fig. 3.
Au milieu de AF, on élève la perpendiculaire KMN; au milieu de GH, la perpendiculaire IN. On trace encore la droite FM faisant, avec NMK, un angle égal à H.
Cela posé, M^ = co7ist. (**).
(*j C'est-à-dire qu'ils sont parallèles à des droites données.
(**) Autrement dit, quand le point A parcourt FK ; le point N décrit une parallèle à FM.
Depuis que cette .\ole est rédigée, un jeune Collègue et ami, M. G. de Longchamps, m'a fait observer que le théorème à démontrer est compris dans celui-ci :
Sur les côtés Ox, Oy d'un amjlc donné, on prend OA = u, OB = v; on
( 180 ) Soient :
FG = /, FA = 2x, AFM = «, MFG =
Soit R rintersection des droites AH, FG. L'angle H KG =- — (-/— a — (î); donc
sinv
FR = 2x
puis
RG = / — 2x
sin (r — a — ;î) sin'>-
sin(v — a — p)
Dans le triangle HRG :
sinR HG = RG =
siiill
FAJI = r.
sin-»' ~| sini
sin(r — a — i)j
cosa
19. Pour évaluer KN, je m'appuierai sur le Lemme suivant, facile à vérifier.
Fig. 4.
élève AM perpendiculaire à Ox, BM perpetidiciilnire à Oy. Cela pofé, si les variables ii, v salinfont à ime relation ayant la forme
au + bv ■+■ r, = 0,
h' point M décrit une ligne droite.
Celte ronianjue est très juste ; mais, dans la question actuelle, il s'agissait, principalement, d'établir la formule RIN =: const. Le calcul précédent, bien (|u'un peu long, n'est doue peut-être pas inutile.
Sur les côtés FL, (*L d'iui tn'ain/le F(iL, on print/ VK==f, G\=g; puis on trace les perpetidicnlaires kN, Ii\ à ces côtés. Les distances Kl\, Ii\ sont données par les formules :
KN = ^- [/ cos L -.- / cos G - fl] , sin L
IN = [7 cos L -+- / cos F — f] (*).
Dans le cas particulier considéré,
sin(r
sinr ~\
sin(>' — a — [3)
cos a
En outre, AL étant le prolongement de FA
L = FLG
sin L = — cos (a -+- r ) , cos L = — sin (a: h- >') , G = — - -4- (r — P), sinG = — cos(r — % cosG = sin(7' — ;3).
KN:
Nous avons donc
cos(a^-r) (
sin(a-4-v)-/sin(r-S)-+-- l-'Lx ,--
2L SIIl(v — « — p)J cos a
y 1siii(r-«-p))
(') Il en résulte
puis
LN»= -T-^ [f'-{-g*-hl* — '2glcosG-'2flcosV - -Ifgco^.L];
Kl* = /■•-+- 9* -f-/» - iglcasG — 2/"/ cos F — 2/9 cos L.
Par conséquent, si Ton conçoit un angle Irièdre 0, ayant pour faces F, G, L, et que l'on construise un point M dont les coordonnées soient f, g, l, on aura
()M = Kl.
( 18:> ) Il esl visible que K\I = a: tg a. Par conséquent,
^^^t^si»ir-.-?)^si«{r-p)^^^^
2 C0SaC0s(a -t- ?^) COS(a -♦- v)
en posant
Or, K =
1 r sinr K = — sin(a -+- r)
' COs(a -V- y) L COSa
— Iga.
COSaCOSfa + v)
donc la formule (54) se réduit à
sin(a -+-T')cOSa — siny — sinacos(a -4- y)
Mi\ =
2 COSa ces (a -h y)
ou, plus simplemeni, à MN ^ -
cos
{y — a — p) — 2sin(r — p)
5)cosa ;
/siii(y — p ■*- a-) 2 C0saC0s(a -+- y)
Cette quantité étant constante, le théorème que nous avions en vue est démontré.
20. Soit (fig. 5) ZNYX la parallèle à FM, menée par le point N, c'est-à-dire le lieu de ce point. Menons FZ parallèle à MN. Il est clair que, Y étant rinlerseclion de ZX avec FG :
