A -+- C II

sin — - — = ■— I nl^ W — r/- -+- qV 4p' — n^j. (52)

Par conséquent,

})ipq

2p[nl/4p'' — q^ -+- qV 'io' — n-\ 8». Remarque. — Un changement de lettres donne

n\/ Af — q- -\- qV 4p'- — n' = m\^ Af — p- -+- p\' Ao' — m^;

puis ce théorème, qu'il est facile de vérifier :

Dans tout quadrilatère inscrit, MINPQ, dont les apothèmes sont OM', Oi\', OP', OQ', on a

MN.OM'-t- PQ.OP'=NP.OM'+ MQ.OQ'; ou hien :

Dans tout quadrilatère inscrit, la somme des rectangles formés

par un côlé et l'apothème opposé, est constante, si l'on prend, dans chaqvc .somme, deux côtés opposés.

FÎK. 7.

30. Propriétés numériques. — Changeant de notation, appelons a, 6, c, d les côtés successifs d'un quadrilatère inseripiible, et R le rayon du cercle. En posant

N = (a6 -V- al) {ac ■+- hd) [ad -+- bc) , (54)

A=^{~a-^l>-\-(-^d){a — h -i- c -\- d){u -*- b - c + r/)(a -+-/>-+- c — (/), (od)

nous avons, par une formule connue,

Il n'est pas difficile d'établir ce théorème, assez curieux :

A, B, C, D étant des quantités rationnelles, on a

iR — d' =

ou, ce qui est équivalent :

4N— <rA = A-. .4N — /rA=-R-, tN — r-A = e, 4.\ — f/-A = I)-. (58)

( 19» ) Considérons, par cxcniple, la dernière égalilé. D'après la fornuile (54), N = abcd^ -+- {aV>^ + (rr -h c'd^)d* -h abc {a* -h h^ + r^)d -t- n'h'r'; et, par la formule (55) : •

A = d* — 2 (a- H- 6- -4- (•-)(/- — Habcd -4- {a' — />* - c'f — 4/>V-. Conséquemmeni, après queUjues réductions,

4N — d'j^ = rf — 2 (a* H- 6* -t- arf* - Aabcd' ■+- [a' -+- 6* -+- c*)*rf^

-4- iabc^a' -+- 6* -+- c')(/ -t- iuHrc\ ou

4i\ — r/^A = [d' - {a' -+- 6^ -+- cyi - 2a6cl*. (59)

Ainsi