Au moyen des équations (1), (5), jointes à la formule

évidente

r/.s^ = uV:.^ + (1 -^ f")du'- (8)

le savant Professeur de Nantes forme, satjs s'y arrêter, la relation

intégrale première de l'équation des lignes géodésiqnes tracées sur une surface de révolution

J'ignore si cette intégrale, dont !a forme est remarquable, était déjà connue (**).

Il en résulte, à cause de l'équation (1) :

ds^ nduX/ - — —• (10)

(*) On sait que

xdy — ydx = ii'^d . ;irc tg — = u^d'u.

(**) Après coup, je m'aperçois qu'elle a été publiée dans la Nouvelle Correspondance mathématique (t. V[, p. oCO).

( 21fi )

Rayon de courbure d'une ligne géodésique.

e. Remplaçons l'équation (4) par

. dx , dy , dz d d.f d-

as as ds s ds

s et p désignant l'angle de contingence et le rayon de conrbure (*).

A cause de

du ^ X „, du ^ Il

ax H ay u

nous avons

V 1 + //- - ff = V 1 -+- /■'-, puis

ou, par la formule (10),

1 Vir — k' , dz

p 11(1 u us

11 ne reste donc plus qu'à développer la dilTércntielle de ^.