COS-V
ds u y i -^ f- y \ + 1'^- ti
(*) Il est connu que, a, p, 7' étant les angles de la tangente avec les axes reclangulaires, on a
£- = ((/.COSa)' -*- (d C0S3;* -4- (f/.COST')' = ('/ — J -+- ['^ •—] "^ ('' x) '
etc.
( 217 ) Pour simplifier le ealeiil, je pose :
COSfx
Il résulte, de ees ;il)iTvi:ilions :
puis
V ,r — Ir siiix, = sin/-c;
cosy = sniAsin/W.
[ili)
Les formules (Jo) et (17) peuvent élre interprétées géométriquement :
1° M élanl un point de la ligne géodésique considérée, soit AMB la section méridienne passant en M. Il est clair que l est l'angle Ti{u formé par la tangente RMT et la droite Ou, perpendiculaire à Taxe Oz de la surface;
2° Du point 0 comme centre, avec k pour rayon, décrivons une circonférence OC. Si, du pied de l'ordonnée de M, nous
menons, à OC, la tangente PS, nous aurons itOS = p.;
5" La relation (17) exprime que
y est l'hypoténuse d'un triangle
sphérique, dans lequel les côtés de
l'angle droit sont les compléments
^ de / et de u.
( 218 ) 8. Par les formules (15) et (17) :
(/> = (lu (lu
dicosr) . f" . ^"
= sin^cosx ; — H sm ;. cos^
puis
d(cosr) Vu'—k'f" h'f'
du
u{\ + rf »vv-^^)(i-4-r
Au moyen de eelte valeur et de la formule (15), on a, (inalement :
-=^- '—-i-k^ (tî>)
9. Les sections méridiennes, earactérisées par o) = co/(.s^, sont, évidemment, des lignes géodésiques. Quand il en est ainsi, A- = 0 (*); et la formule (19) devient
°' (i -*- rf
ce qui devait être.
Introduisant le rayon p, , de la méridienne, ainsi que les angles / cl u (15), on peut donc écrire
1 siri*^ sin/cos'-'p
p Pi "
expression assez simple.
1! en résulte
1 II' - k' 1 /:7 '
P " Pi î/H/l -4- /'-
(*) Si l'on cherche dans (]uel cas le rapport-^' est constant, pour une même ligne géodésiquc, on trouve que la surface doit être un ellipsoïde de révolution. Cette propriété est la réciproque d'un théorème dû à Gndermann. (LiM)ELor, Calcul tics varialioiis, p. 278.)
CCIiXX.XV. — Une proprl^'té dvs pro^rcNSilonN g;^*oni4'(ri(|iiCN.
(3îat 1888) (*).
I. Théorème. — Soit une profjressiuii (jùoniélrique, cotnponée de II termes. Si, den fois la somme des carrés de leurs lofjnrithmes, on retranche le carré du logarithme de leur produit, te reste est constant.
