CCL.XXXVI. — Géométrie de situation
(Mai 1887.)
Problème (***). — Sur un échiquier de trente-six cases, placer six jetons, de manière qu'aucune ligne et qu'aucune colonne ne contienne un nombre impair de jetons.
Si une ligne conienail quatre jetons, deux colonnes, an moins, ne contiendraient (]\\'un jeton. Ainsi, les lignes et les colonnes employées doivent contenir, chacune, deux jetons. Faisons abstraction des autres lignes et des antres colonnes; il nous reste un échiquier de neuf cases, disposé comme ceci, par exemple :
(") Complément à la Note CCXLII.
(*■) C'est à cause du Corollaire que le Théorème est énoncé.
(***) Proposé par M. Emile Dcliège.
Les cases non remplies sont au nombre de h'ois. La quesliori peut donc èlre formulée en ces termes :
Sur un échiquier de neuf cases, placer trois jetons, de manière qu'il y en ait un dans chaque ligne, et un dans chaque colonne.
Ce problème auxiliaire admet (*) 3.2. 1 = 6 solutions.
Sur l'écliiquier primitif, on peut choisir trois lignes, de "20 manières, et trois colonnes, de 20 manières. Le nombre demandé est donc
CIXXXXVII. — Sur les sectioiiiii eirciilaircs de l'ellip!«oicle.
{Février 1888.)
L Lemme (**). — OA, OB étant deux demi-diamètres conjur/ucs d'une ellipse; par l'extrémité B du second, vu mène une droite EBF, perpendiculaire au premier; et l'on prend, sur cette droite, les dislances BK, BF, égales à ce premier demi-diamètre. On Joint les ])oints E, F au centre 0.
Cela posé : 1" La bissectrice de l'angle EOF est, en direction, l'un des axes de la courbe; 2" 2;i, 21) désignant ces axes, oii a
OE
(*) Kn ollcl, pour former tous les c; nés, il suflil île permuter les trois lignes tracées ci-dessus.
(**) Le lecteur est prié de faire les deux premières figures. (*") CiiASLEs, Aperçu /listoriquc, deuxième édition, p. 562.
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II, Tukoukmk. — Soit ÏMN une corde de l'ellipse considénk-, parallèle au dcnii-dianièlre OA. Si, par le milieu G de M.X, on mène la droite IKiK, perpendiculaire à Mi\, et inscrite à l'angle EOF; le quadrilatère IINKM est un losamje, dont le côté éijale OA. /:/* outre :
on = ^ {a . b] , OK =- ^ (« — M. f> h'
A cause des parallèles HGk, EBF, le point G est le milieu
(le HK ; donc II.NKM est un losange.
De plus,
