I. Cordes principales. — L'équalion d'une surface 2 étant

^x' -H A' M- -+- A"2- -t- 2B7Z -+- 2B'zx -4- 2B"x// )

+ 2Car H- 2C'/y -+- 2C"c -♦- D = 0, ) ^ '

considérons un système de cordes parallèles à la direction déterminée par

(*) On trouve, par un calcul facile,

ISAOH

D'ailleurs

Donc

'^''">=aVv=

tgAOH.tj,'AOD = .

puis le |)l;iii (liiiinélriil coujuj^im'' à ces corilcs. (Icllcs-ci scroiil principales si les cosinus a, h, c salisloiii jiux conditions connues ;

Aa -4- B"h H- B'c A'IÎ -+- \ir -+- R"« A"c ■+- H'u -+- B6

abc

On Siiii (juc, v ("Irini In valeur commune des trois rapports,

(A .s)(A' - .s)(A" - .s) — B*(A — s] — B"^(A' — s) 1 — ir'-(A" - s) -t- SHB'Ji" = 0 (*). î

Celte équation, du troisième degré, a, au moins, une racine réelle. Par conséquent, dans toute surface du second ordre, il existe, ou moins, un système de cordes principales (**).

II. Réalité des racines. — Prenons une de ces droites pour axe des z : les équations (5) devront être vérifiées par « = 0, 6 ^ 0, c ^ 1 ; ce qui exige que

En même temps, l'équation (4) se réduit à celle-ci :

s" - (A -+- A') .s -H AA'— B"' = 0, (6)

laquelle a ses l'acines réelles.

Puisqu'il en est ainsi, la surface il possède trois systèmes de cordes principales (***). Mais le nombre de ces systèmes ne peut dépendre du choix des axes; donc les trois racines de l'équation (4) sont réelles ('").

(*) Cauchv, Exercices de Matfiematiqucs, t. IV, p. 14.1.

('*) Manuel des Candidats à l'Ecole polyteclmique, t. II, p. 4-2.

('") Pour faire disparaître le terme en xy, on fait tourner les axes Ox, Oy dans leur plan, en les laissant rectangulaires; etc.

('") Démonstration donnée à l'École polytechnique. Si je la rappelle, c'est parce que, fréquemment, on en voit paraître d'autres, fort compliquées. (Mai 1<S88.)

CCIiVXXlX. — Équation»» dont toatcN les racines» sont iniasinaircN.

{Mars 1869.)

I. Théorème. — Si l'équation f(x) = 0 (*) a toutes ses racines

réelles et inégales, l'équation obtenue en égalant à zéro la seconde

dérivée de j- , a toutes ses racines imaginaires.

Soit

et, par conséquent

L'équalioi) .'/"=0 est donc

Or, si l'on suppose

on a

ou

puis

I ff'~r

r-iï"=ry,

-Ij

f'-ff^p

{Jc — a}-

Le priniier membre de réquatioii (1) élani une somme de carrés, celle équation n'a aucune racine réelle (**).

(*) /"(x) est un polynôme entier.

(**) C'est à peu près ainsi que le théorème a été démontré par 31. Agairaf (Nouvelles Annales, 1849, p. 445).

Addition. — {Mai \SSS.)

II. Théorème. — Si l'équation f(x) = 0 a toutes ses racines réelles, l'équation

ff"-r-=o, (A)

a toutes ses racines imaginaires (*).