V. Remarque. — On sait que

De plus, si Ton fait f[x)=x'^

LU

toutes les racines de /(3c)= 0 sont réelles (***). Donc le théorème ci-dessus (II) est applicable.

(') Évident par la fornmlo (5).

(*') Premier Mémoire sur les forictions X^, p. {"5.

(*"*) Ibid., p. 52.

Soit, par exemple, n = 5 ; d'où :

/■(x)=.x'h-9j;' + 9x-h1, f'{x)=ô{x^-i-CiX-\-ô), /"=6(x-+-5j. L'équafion (A), développée, est

X* -+- 12x'' -4- 5'i-x* -4- o2x -+- 21=0: elle n'a aucuae racine réelle (*).

V'I. Autre application. — L'équation

a ses racines réelles et inégales (**).

On peut donc prendre, dans l'éfiuaiion (A),

/■(x) == (x — a)(x — 6) •• (x — Aj — 2 tii{x — h){x — c) — (x — k) ('**).

V'II. Rentarqne. — On pouiniit supposer que, si la proposée a des racines imaginaires, la transformée a, nécessairement, des racines réelles. Il n'en est rien. Soit, on effet,

/■(x) = xfx^— 1)(x--hI).

On trouve

p — ff" = -ôx^ -H iOx* -^ I;

et ce trinôme ne s'annule pour aucune valeur réelle de x.

(*) Dans les Nouvelles Annales, 1848, page 568, on énonce, sous le nom de Gauss, une propriété qui résulte de la formule de fiodrignes. En outre, réquatioii /"(x)=:0 (îi) étant une simj)Ie transformée de X„:=:0, le lliéorème sur la réalité de ses racines ne doit point être aUribué à M. H. Laurent.

(**) Voir, par exemple, une Note de Biuet (Journal de LiouviUe, t. II, p. 250).

(***) Nous citerons' encore, comme équation proposée, celle que l'on rencontre dans la théorie des inégalités séculaires, et dont un cas particulier fait l'objet de la Note CCLXXXV.