III. Une intégration. — Soit l'équation (3), ou

Quoi qu'elle ne soit pas linéaire, il est facile d'en trouver l'intégrale générale. En effet, multipliant les deux membres par l(y -h y'), on a

Le premier membre est une dérivée exacte si l'on prend "X = e*"^ (*). D'ailleurs, 2e*'(?/ + y')y^ est la dérivée de (ye'y. Donc une intégrale première de (A) est

{y -H yje*' = {ye')' -+- g,

iy

^yy^ = \/(ye'Y

ou encore :

e'iye'ï = ^{yen'

Ainsi

(*) La dérivée de ^■{y-i-y')* étant

on doit avoir

dÀ

da;

— = -2; elc.

et enfin :

l/(ye'j* -t- (J

IV. Sidte. — Pour simplifier l'intégrale (D), qui n'a pas la forme normale, posons

ye" = u. (7)

Il vient, immédiatement,

puis

Le système de ces deux formules constitue l'intégrale générale de léqiiation (A).

V. Si la constante g est positive, remplaçons g par g^; puis posons, comme le fait Legendre,

II résulte, de cette transformation

\/l-isi.

du = ^i— ^ , l/«* H- g* = 2ûf