et cette série est divergente

V. D'après tout cela, on est conduit à la proposition suivante : Supposotis que, pour les valeurs de x comprises entre zéro et un (**). on ait :

f{x) = «0 -+- a,x -4- Ojx'^ -H ... (A)

Soit z = 9(x); et, par suite ,

/■(x)=- ho ■+■ h,z -t- 6^:- -+- ... (B)

(*) Le terme général est

21+1 jj 2

" ~ (» -t- l)(?i-+-2)2''+' (") Afin de fixer les idées.

Si la fonction «P a été convenablement choisie, il peut arriver que la seconde série reste convergente (*), pour des valeurs de x supérieures à Vunité; et alors l'égalité

Oo H- «iX -4- ajx' -H ••• = ho -4- hiZ ■+- h^z^ -+- •••, (C)

vraie pour x co7npris entre 0 et i, devient absurde pour >: > 1.

€CXXI\. — Quelques Intégrales déOnies (**). {Septembre 1886.) xdx

\. Soient

/xdx

/•" e^^^xdx

r'^e-'^^xdx

r"^ xdx

"",/ F^TTl-) (4)

11 est clair que A = B -f- C — 2D. D'ailleurs, par la formule

de Plana ("),

{") Bien entendu, on In suppose convergente ijuand x est compris entre 0 et 1 .

(**) Complément des Sotes LUI, XCIil, CXXXVIIl et CXCII. Dans celle-ci, au lieu de td(, on a imprimé li [formule (A)].

C") On doit avoir a' <^ tt', sans (]uoi ces intégrales ne seraient pas, toutes, finies.

(") Noie XXXlll (t. I. p. 95).

( 27 ) 11. L'intégrale B, développée en série, devient

Soit d'où

On a donc ou

xdx

i^ikir — uf

puis, par le changement de a en — a,

4 ^ (/;t -4- a)* 111. Si Ton fait a = 0K(rt < 1), l'égalité (5) devient

/"" xdx

zx o~<'7ri

^{k-af ^,^k-^af\ 12

Il resterait à évaluer les deux sommes 1 1 1

(1 — af (2 — a) 4 1

(1 -H a)* (2 -K a)-' (5 -t- af IV. Si fl = |-, la première série devient

(*) Dans l'état actuel de l'Analyse, ce problème n'est peut-être pas résoluble. Voir la Note CXCII.

( 28 ) la seconde :

Par conséquent :

/"* xdx \

Addition. — (Novembre 1886.) V. Relation entre deux intégrales. — On sait que \ i