A -+- 2(AB'— BA') = 7P

Chaque terme de AB' a la forme x'^q'*'^"-'' ; (x inip., y pair) chaque terme de BA' a la forme y'^q"'^"'.

Conséqucmment, notre égalité (15) se réduite

2x^7'^ + 22^x'^ - !/^)7^'^*°- = qV\ (1 4)

D'après celle-ei : dans le développement de qP^, chaque exposant est, ou un carié, ou la somme de deux carrés (*).

(*) Cette propriété, évidente à l'inspection de Tégalité (13), résulte aussi de la formule

qP^=q{l — Tyqi -+- îjry'^ — 7g'< -+- Gq*" )'. (H)

En effet, dans la parenthèse, chaque exposant a la forme 2n(n-+-l). Donc, tout terme du premier membre contient une puissance de q marquée

par

Or, si l'on multiplie et qu'on divise par 2, ce trinôme devient

Notons, en passant, que : le quadruple de la somme de deux nombres triangulaires, augmenté de i, égale une somme de deux carrés (ou égale un carré). Par exemple,

/S. 6 9.10\ -i ^ H -t- 1 = i2.il = 10' -^ 11 -.

(lo)

( 244 ) VI. La combinaison des égalités (14-), (11) donne celle-ci

pourvu que

Soit, par exemple,

n = 85 =- 9' -t- 2- = 7' -H G- ; puis

Agj -. 8 i -t- 49 — 4 — 36 = 90.

En effet, dans le carré de

le coefficienl de 7^'' est

VU. Développement de P. — Nous avons trouvé

Donc, si nous faisons

la série P se déduira, de a.'-, par le ciiangement de 7 en 7"-.

(*) La dernière formule résulte, immédiatement, de Tégalité (il); mais la dcmoiislration est moins claire que celle qui vient d'être exposée. De plus, si A- est le nombre des solutions de Tcquation (16), la valeur de A„ peut être remplacée par l'une ou l'autre de ces dcux-ci :

A„ = Hlœ* — kn, X„ = kn — ili/,

peut-être plus commodes que la première, dans la plupart des cas.

(**j Faisons encore observer (jue :

(■■■) Ihrlirrcltcs..., p. 17.

Or,

a'* = I — 27' — 7' -^ ^" -+- 7' -♦- 'ir/'" — 2ry'- — !2r/"' — 27"* -4- 7*" -t- 27*"-*- 37**— 27'»-+- 27"— 27'^— 27*"— 27*"— 7'**-+- 27"

donc

et, d'après ce que Ton a vu ci-dessus (111) :

Vlll. Zoj des coefficients. — Soient, dans l'égalité (19) :

On a

Donc, si / et /' sont inégaux,

le signe ^ s'étendanl à toutes les solutions, entières et positives, de réquation (23).

(') Recherches..., p. 41. Ce développement a été obtenu de deux manières différentes : il } a donc lieu de le croire exact.

(*') Cette double égalité devient évidente si Ton fait attention que la formule connue :

donne

Mais, si /' = /, ou

n = 5^ zp /, on doit prendre

pourvu que, dans celte nouvelle formule, / et l' soient supposés inégaux (*). .

Soit, par exemple,

L'équation (23) devient

J40=(3/-qz/) -i- [ôr- zp l').

Celle-ci est vérifiée par

Donc le coefficient de ç'^*' doit élre

i -+-2(— 1)'=— 1; ce qui est exact.