IX. Suite. — L'équation (23) peut être remplacée par

Ainsi, sauf le cas où 71 = 3)- =f \ L„ égale l'excès du nombre des solutions de l'équation (25), dans lesquelles 1 et V sont de même parité, sur le nombre des solutions dans lesquelles ces nombres sont de parités contraires (***). Mais cet énoncé peut être simplifié, au moyen dos remarques suivantes ;

1° On peut substituer, au second membre de l'équation,

(Gx -+- 1)* -+- (G (y -4- 1)*, X cl y étant positifs ou négatifs ;

(*) Rechercfies..., p. 39.

(*•) Ibid., p. 41.

(***) Loc. cit.

( '^^^7 ) 2" Il est visible (e( connu) (*) (|iic (6x -+- !)'-+- (G/y -+- 1)*= 2 [(3x -t- 5»/ -t- 1 )* -♦- (ôx — %)*J Donc rc(juation (25) devicnl

I2« H- I = (3x -+- ô/y -+- 1 )* -+- (ôx H- 5^)*,

ou, finalement,

12/i H- 1 = (5« -t- I)- -f- (3ii)'-;

M, V étant dos (/uantités chUîtcs, positives ou néfjatives (**).

Par conséquent : ~ L„ éf/a/e l'excès du nombre des valeurs paires, sur le nombre des valeurs impaires, de v.

X. Remarque. — Ce nouvel énoncé suppose que 12«-i- 1 n'est pas un carré parfait (***). Lorsque 12n h- I a ia forme /-, la valeur de L„, déduite de la règle (2o), doit être augmentée d'une unité.

XI. Autre remarque. — Si 12?j h- 1 est un nombre premier, comme il a la forme Au- -+- 1, il est décomposable, d'une seule manière, en une somme de deux carrés : l'un est (ou -}- 1)^; l'autre, (5vy. On est donc conduit à ce petit théorème d'Arithmétique, à peu près évident :

Tout nombre premier, de la forme 12a h- \, est la somme des carres d'un multiple de o, et d'un multiple de 3 augmenté ou diminué de 1 (").

(*) Voir, par exemple, le Mémoire de M. Gcnocchi {^^ouvellcs Annales, t. XIII).

(**) De

on conclut que :

Si « et V sont pairs, x et y sont de même parité;

Si u et V sont impairs, x et y sont de parités contraires ;

etc.

(*") C'est le cas d'exception signalé plus haut.

l") Dans le cas considéré, L„= ± 2, selon que u est pair ou impair.

CCXCTI (*). — Sur le Problème de Pétershourg: (").

(^Décembre 1877.)

1. « Pierre, se proposant de jeter en l'air une pièce de monnaie, promet de donner à Paul \ ducat si, dès le 1" coup, cette pièce étant tombée, montre la face; 2, si cela n'arrive (ju'au 2" coup; 4, si ce n'est qu'au 5", et ainsi de suite, en doublant à chaque coup. On demande le sort de Paul. »

Les probabilités de l'arrivée de face, au 1" coup, au 2% ..., au n'""% sont

Les gains correspondants sont

1, 2, 4, ..., 2"-* ducats.

Par conséquent, le sort de Paul (ou son espérance ninlhématique), est

« Or (dit Lacroix), puisqu'il n'est pas impossible que face » n'arrive qu'après un nombre de coups plus grand que tel » nombre qu'il plaira d'assigner, ne s'ensuil-il pas qu'avant » de commencer le jeu, il faut supposer ce nombre inflni? » La mise de Paul doit donc être infinie; mais quel bomme » sensé voudra risquer à ce jeu, non pas une somme infinie, » ce qui est absurde, mais même une somme tant soit peu lorie? » Voilà le paradoxe que les géomètres ont cbercbé à expliquer. «

On n'a peut-être pas fait attention à ceci : Pierre, qui promet à Paul de lui donner l*", 2', 4*^, 8*^, ..., doit commencer par établir

(*) Extraite d'un Traité inédit.

(**) Proposé à Montmort, par Nicolas BcrneuUi (Méiuoircs de S'-Péfersbourg, vers 1720; Analyse des jeux de luisurd).

qu'il est en ctnt de paner. Si Pierre disait : « Voilà une somrr.o » de 1024 francs, sur huiiicllc vous prélèverez 1', 2^ ^^, 8', ..., » si face arrive au l^coup, au 2''"'% au 5"""% ... Si, au H'*'"" coup, » je n'ai pas amené face, In partie sera nulle, et nous retirerons » nos mises »; il n'y aurait plus de paradoxe : l'enjeu de Paul devrait être (^)' (*).

II. Variante. — Pierre promet, à Paul, de lui donner 1^ 2^ 0^ ..., rt^, si FACE arrive au 1" coup, au 2'*""', ..., au u'""\ Quelle est l'espérance mathématique de Paul?

E=lxi+2x(5)^3xQV...-4--.x(^)"=2-J„-|.

Celte quantité K tend, très rapidement, vers 2. D'ailleurs, la probabilité que Paul gagnera (la partie s arrêtant, au plus tard, au n'*"'* coup) est

et la probabilité que Pierre gagnera est seulement ^•

Si donc la mise de Pierre est n francs, la mise de Paul doit être, d'après la règle des paris :

Il n'y a plus rien d'excessif.

(*) Poisson a fait une reniarque analogue à celle-ci {Recherches sur ta Probabilité des jugements j p. 75).

CCXCTII. — Snr an cas particulier de la formale du biuôiue.

(Août 1888) f).