CCXXVI. — Sur une formule de Jacobi

(Janvier 1885.)

I. Transformation. — Celte formule, aussi remarquable que facile à démonlrer, est

;i-+-r/z)(1-t-r/z)(lH-r/»z)(l-+-f/r)...

Soit Q la valeur commune des deux membres. On a

f Q = i'{\ + qz) + ^^(1 -t- q'z) -f- f (1 + 9'-) -+- ••

Développant chaque logarithme, on trouve, an lieu de cette égalité :

Par suite, IrfQ

ou

(') La |)lii|)art drs résultats suivants ont été ci)ninuiiii(]Ut''s à M. Hcrniitc, à répoquc indiquée.

(**) Fitnildiiicnhi iiovd..., p. ISO.

11. Remarque. — Cette égalité donne lieu aux réductions suivantes :

\-cf \-r 1-7* («— 7')(»-7*)'

etc.

l-7« (l-r/^)(l 9*)(l-9«Xl-f/)'

111. 5î«7e. — Lorsque z = ± \, la relation générale (B) produit ces deux-ci :

.Ci i . -

r, 7^^ ti ^

[ \-f (i 9-^)(i f/) (.i ç^)(i 9*xi/)"

Dans l'égalité (2), le premier facteur est la transcendante P (*). Donc, dans l'égalité (5), le premier facteur est la transcendante a (**).

(*) Recherches sur quelques produits indéfinis, p. 52; Notes sur la théorie des fractions continues..., p. Gl.

(**) Recherches.. , p. 1.

En conséquence

iD)

IV. ^n/res relatmis. — Lors(iue z = \, le produii représenté par Q devient [3; lorsque z = — 1, ce produit devient a (*). Donc, en vertu de l'égalité (I);

1—7- !2 1 — 7* 51—7'= La différence des premiers membres est

leur somme est

Par suite

q''^ 'il — q' ' 5 1 — 7'- "^ '