J--9')(>-9*) (l-7"0{^-7t1-9*) on a

(*) Note CLX.

(*') Recherches.. , p. 52, note.

Vil. Suite. — La vérification de celle identité (K) semble difficile : à plus forte raison le serait-il d'cfTcctiier les développements des deux membres. Mais on peut commencer par la réduire. A cet effet, j'observe que :

A'= (1 + V) (I + 7^)(1 -+- r) ■•' = Sp' 0, B'==(1-4-r/)(l +7M(1 -,-q^)...=p' (-),

Ainsi déjà, par la suppression du facteur B ;

\ — q- (1 - f/-)(l - r/) formule connue (***).

Ce n'est pas tout. Dans la relation (K), la valeur commune des deux membres est

[\-cf

Dans la série, changeons q en — q : elle devient

c'est-à-dire

[1 — q 1 — 7' 1 — ff

11 est visible que le développement de cotte nouvelle série est

(■) Rccherc/icx..., pp. 4S et 1.

('•) Il>i,l.,p. I.

{") Noies SU7' la théorie des fractions conliniivs. ., p. tîi.

N,(n) représentant le nombre des diviseurs impairs de n (*). L'égalité (G) se transforme donc en

puis, à cause de

Ainsi, la fonction très complexe, -^ , est, assez facilement, développable suivant les puissances de q.

VIII. Remarques. — i" D'après ce qui précède, l'égalité (C) peut être écrite ainsi :

2° La combinaison des égalités (L), (M) donne cette autre identité, peut-être nouvelle :