IX. Équations caractéristiques. — Si l'on pose

(*) N,(/() est aussi le nombre des diviseurs du plus grand diviseur impair de n.

(") Recherches..., p. 5. f,(n) est le nombre des décompositions de n en parties impaires, inégales.

( ^8 ) et que l'on représente par f{q) la somme de la série de Lambert :

1 r/ 1 — q' 1 — (f- 1 — r/* on a

La série

peut, également, être rattachée à la transcendante /"(</).

En effet, il est visible que

^{7) = 9(7)-29(v'); ou, à cause de l'égalité (8) :

Ainsi, comme nous venons de le dire, la transcendante /"(ç) étant connue, l'autre le sera aussi. Mais l'on peut aller plus loin. La série de Lambert, ordonnée suivant les puissances de q, est, comme on sait,

q -f- 'iq' -H 2r/ -h ôq^ -\- ••■ -+- N(>i)r/" ■+- ■..; (1 1)

N(n) représentant le nombre des diviseurs de n. Conséquemmenl,

puis, si l'on suppose

^iq) = i,^'.r- (JS)

(') Notes sur la thcoric..., p. 14.

('*) Chacun des symboles N^^"), N(^) doit être remplacé par zéro, quand la fraction correspondante n'égale pas un nombre entier.

Addition. — {Novembre 1880.) X. On a aussi :

ou