HA7)-/'(-7)J

La comparaison avec la formule (10) donne la relation :

qui caractérise la série de Lambert (*). XL Soit, comme précédemment,

L'égalité (17) devient

Dans le premier membre, le coefficient de q^", lequel doit être nul, a pour expression :

Nous trouvons donc ce petit théorème :

Le nombre des diviseurs de 2n égale la demi-somme du nombre des diviseurs de n et du nombre des diviseurs de 4n (**).

(*) La sommation de cette série est iiinsi ramenée au problème suivant: Quelle est la fonction f qui satisfait à la condition (!')?

(**) Evident, mais non signalé, je pense, dans les Traités d'Arithmétique. On peut le généraliser ainsi :

Soit p un nombre premier. Le nombre des diviseurs de pn égale la demi-

XII. On peut remplacer I equalion (17) par une autre, plus simple, et eonienant la fonction 9. En effet, de l'égalité

on déduit :

puis

ou

Autre addition. — {Février 1887.) XIII. L'identité

q"^ \ q^ \ qr« q^ \ q^ 1 q^

peut être généralisée ainsi :

X XX X* x'

somme du iiomhre des dixnseurs de n cl du noinlirc des diviseurs de p'n. Par exemple :

N(2i) = 8, N(h20)3=16, NtGOO) — -2t; ol 16=1(8-^:24).

(*) Cette égalité résulte, imniéiliatemciit, de la dr/inition (8).

( 41 ) Par exemple,

■il