CCX.XTII. — Sur les nombres conibiuatoires

{Décembre 1886.)

I. Développement de (x h- a)"~". — Dans ma démonstration du théorème de Staudt et Clausen, on trouve le lemme suivant : n étant un nombre premier, supérieur à k,

C,.-2,*-., = JIL«=F A-, (1)

selon que k est pair ou impair (***).

Si l'on change k en k — 1 , on a donc

(') De cette égalité, on conclut la propriété suivante, qu'il est facile de vérifier et de généraliser :

Soit A la somme des diviseurs d'un nombre entier ^', donnant des quotients i7npairs.

Soit B la somme des diviseurs donnant des quotients pairs.

Soit, enfin, C la somme des diviseurs de N, impairs.

On a

(") Complément à la A'o/e CLXXX.

(*"; A'o^eLXXVI.

( 42 ) et, par conséquent,

(:„,.,, -f- C„,,, î = jnnzpi {*). (2)

Ainsi, dans le développement de (x -h a)"~* (n premier), la somme de deux coefficients consécutifs est un multiple de n, diminué ou augmenté de l'unité.

En outre, d'après l'égalilé (2) :

La somme des deux premiers coefficients = JTCn — 1 ; La souutie des quatre premiers coefficients = DTLn — 2; La somme des six premiers coefficients ^ JTLn — 5;

n— 1 La somme de tous les coefficients, ou 2""^ = JTL» : — '").

Enfin, à cause de

1.2.5... A- Dans le développement de (x + a)"~" (n [)remier) :

II. Remarque. — Si n — 2 e/ n sont premiers, on a, simultanément :

ei, j)ar suite, plusieurs solutions de l'équation indéterminée

nx — {n — '-2}y = ± \. (5)

(*) — I si A- est pair.

{"} Cette dcrilièrt' Cf^îililc équivaut à