V. Propriétés arithmétiques et algébriques. — De la relation

p-^'h'i -*- ^'' p-i-'i ^^ •Ji^^^ ( )) on conclut aisément

OU

et, à plus forte raison,

(/i-p-l)(»-p-2)...(y-f-1) =p{n — q—\){n — q — 2) ... (p -+-!) = JK.n. (6)

Soient :

de manière que

a{a ■+- 1)... (a -+- c) ± h{l) -+- '!)... (6 -t- c) ^= JfL (o -h 6 -+- c);

ou, cil appelant cp(rt, b, c) le quotient, par a -h b -h c, du premier membre,

Cette égalité, obtenue en supposant que a, b, c sont des nombres entiers, dont la somme est un nombre premier, semble prouver, seulement, que ?(«, b, c) est un nombre entier. Mais elle est bien plus générale.

En elfet a, b, étant des quantités quelconques, remplaçons a, dans le premier membre, par — (6 -t- c). Il devient

{—\y+Ub -4- c){b H- c— l)...6ip6{/> -+- 1)...(6-+- c);

(*) IS'otc F^XXVI (t. I, |). 324). Le sij;iic — , si q esl pair. (**) Le signe — 1, si p cl 9 sont de incmc parité.

("*) D'aiHCS les liypolhèses pi'cccdcnfes, a et h siml tie vu'me parité quand c esl i7npair, et tIe parités coiilruirv.^, quand c est pair.

ou, selon que c est pair ou impair,

±:h{b -t- 1)...(6 -+- c)zpb{b -+- [)...{!) -t- c) = 0.

Ainsi, le premier meml)rc de régalité (A) est alr/ébriquement divisible par a -^ b -h c. Donc, comme on Ta vu, il esi arillimétiqiiement divisible par a -h b-i-c, quand les lettres a et 6 sont remplacées par des nombres entiers.

En résumé :

1 " Le poli/nôme

est divisible, algébriquement, par a -}- b -+- c.

2" 5/ a, b sont des nombres entiers, le nombre entier

est divisible par a -h b -f- c.

5° Soit ç(fl, b, c) le quotient : pour toutes valeurs entières de a, b, on a

(a + 6 -+- c)9(o, 6, c) = JTl (1 . 2 . 5 ... c + 1) (**). 4° En outre, si a -i- b + c est un nombre premier,

cp(n,6,c) = J)Tl(1.2.5...r + 1).