X -{- xf -\- fx
Va — niy f „,
y^^g^^JL^ = 0, (9)
Vh — mz
z -h- Xh -i- /z. = 0 .
Si maintenant on multiplie par x, y, z, et qu'on ajoute les produits, on obtient, à cause des relations (5), (4) :
îi^-+-fx[F — m(QH-d)] = 0:
ou, par l'équation (2) :
tJim = u\ (iO)
De même, en multipliant par f, g, h :
X + ^[Pm — mP] = 0, ou
Ainsi, les équations (9) peuvent être remplacées par :
{u' — cr)x = V/xf\ {u- — b')y = Viu(j, {ir — c')z = V.Ji. (Ii>) Il résulte, de celle-ci, l'équation demandée : r a- Ir
M* — a" u' — b' ir — c"
II. Suite. — Menons, j)ar le centre de rdlipsoïde, un plan perpendiculaire à la droite dont les cosinus direclifs seraient f, r/', II'. Les carrés des demi-axes de la section vérifient l'égalité
ivT f^W c'Ii"
m'^ — o" II'' — b^ u'' — c due à Sedley Taylor (*).
Ces deux équations auront les mêmes racines, si
af'
bcf "" (•/('
:, de
ces
propo
rtions :
La droite OL", dont les cosinus directifs sont f , g' , h', est donc déterminée; et, en conséquence :
III. Théorèmes. — 1° Toute section d'un ellipsoïde, par un plan diamétral, est égale à la section droite d'un certain cylindre, circonscrit à l'ellipsoïde.
2" Réciproquement : Tout ellipsoïde, inscrit à un cylindre, admet une section diamétrale égale à la section droite du cylindre.
3° Si deux ellipsoïdes, concentriques, sont inscrits à un même cylindre, une section diamétrale de l'un est égale à une section diamétrale de l'autre,
4° Réciproquement : Si deux ellipsoïdes concentriques n'admettent pas de sections diamétrales égales, ils ne sont pas inscriptibles à un même cylindre.
IV. Remarque. — Soient A', B', C les projections, sur OL', (*) Cours d'Analyse, p. 461; Nouvelles Annales, t. XX, p. 115; etc.
des sommets A, B, C de rellipsoïde (*). Le point >I, dont les coordonnées sont
X = OA' = af\ j/ = OB' = brj\ z = OC = eh'..
appariient à celte surface (**). De plus, il appartient à la droite OL.
Donc ce point M est celui où la droite OL perce rellipsoïde (***).
Si M' est le point d'intersection de OL' avec la surface, nous dirons que M, M' sont deux points correspondants. Il existe, entre ces deux points, une relation simple.
V. Théorème. — Le centre 0 est érjalement distant du point M' et du plan tangent en M.
Prenons, avec les formules (16), les équations
•i" = w/; y = tiy, z = ait; (17)
puis la formule connue :
ou
(li>)
Il est visible que
r r fr r 9" f''-
1 1 — : -^ jH
a' 6" c' à' tr r
{*) Le lecteur est i)rié ilc faire la figure. (**) A cause de
('") Nous jtrenous.dans la ligure, la partie siuiéi- au-dessus du pian xi)//.
( 7 ) Donc
ou, enfin, par les proportions (lo) :
f- 9 l>- — + TT-t- — a 0 c
VI. Cylindre de révolution. — Si la section diamétrale de l'ellipsoïde est circulaire, la section droite du cylindre circonscrit l'est éiïalement ; celui-ci est un cylindre de révolution. Par la théorie connue (*), on trouve :
f=TV- — ^' •^/=^>' ^=âV-^^ — -^' (^^'^
puis, au moyen des formules (16) :
rt" — C
Par conséquent
^ wn ellipsoïde donné, on peut toujours circonscrire un cylindre de révolution {**) ;
ou, en d'autres termes ;
Étant do>i7ié un ellipsoïde éclairé par des rayons parallèles, on peut toujours le placer de manière que so)i ombre, sur un plan perpendiculaire aux rayons, soit un cercle.
{' ) Voir, par exemple, V Analyse appliquée, de Leroy (p. 165). (**) Plus exaclement, deux cylindres.
VII. Remarque. — Quand un cylindre de révolution est circonscrit à rdlipsoïde, il est circonscrit à la sphère concentrique à celui-ci, et dont le rayon serait b. L'ellipse suivant laquelle le cylindre touche l'ellipsoïde est, relativement à cette surface, une lifjne de courbure constante ; et, en outre, une variété de la courbe appelée polhodie (*).
€€1LTI1. — Sur deux ttiéorèiues de M. La^^aerre (**).
{Août 1884.)
I. Premier théorème. — On peut construire trois cercles osculateurs d'une parabole, qui touclient une tangente à cette courbe : cette tangente, et les tangentes aux points d'osculation, touchent un même cercle.
I. Rapportons la courbe à la tangente Cx et à la normale CA (***).
L'équation sera
{y — axf — '2b y = 0 ("). ( 1 )
Il en résulte :
{y — ax) {y' — o) — by' = 0, (:2)
{y' — a)- -^{y — ax — b)y" = 0. (5)
Le cercle osculateur en M, qui touche Cx, est représenté par
y^-2pt/-+-(x-a)^ = 0; (4)
d où
(*) Itemarqiirs stiv la t/iconc des courhes et des surfaces, p. 51. ('") Savant Géoiiu'lri", plein d'orij^inalilt.', dont un déplore la perte reeoiile. Je l'ai eu pour élève, au Lycée Saint-Louis, en 1851. (.Nov. 188G.) (*■*) Le lecteur est prié de faire la figure. \"'i a est le coefficient angulaire des diamètres; '26 = corde C\.
( 9 ) Des équations (2), (3), on tire
f>y' , in' — ")'
— ax =^
Ainsi
[y' — «)•' -^ «'vy" -= 0» !/ ' = — ^-^^^ — (<^)
La première valeur de // — ax, substituée dans Téquation (1),
donne
hir-^y{y' — af = 0;
puis
= l i!Ll (7)
L'élimination do x — a et de p, entre les équations (4), (5), conduit à
Donc, par substitution des valeurs (6), (7) :
y'\y' — af — 4a(l + (/'■-) (y/' — a) — 4a''(l -+- y")- = 0 ; ou, après suppression du facteur y' (*) :
y'[y' - «)' - ^*«(' -^ ^")(> + «!/') = <^- CJ)
On simplifie cette équation en posant ?/' — a
puis t — a = s. On trouve ainsi ;
s' — ôa's — 2a (2 -+- «') = 0. (10)
C) t/' = 0 répond à la langeiite Cx.
('*} t est la tangente de l'angle que fait 3IT, tangente à la parabole, avec les diamètres.
Cette équation a une seule racine réelle; donc, des trois cercles considérés, cleKx sont imarjinaires (*).
II. Second théorème (**). — Les projections MP, M'P' de deux normales MN, M'IN' à une ellipse, sur la corde MM', sont égales entre elles (***).
Nous supprinrions la démonstration, très facile ("^); mais nous énoncerons les propriétés suivantes, conséquences du théorème :
1° Dans C ellipse, la projection d'une normale MiV, sur le demidiamètre OM,apour expression — ; a' désir/nant ce demi-diamètre;
2° Dans l'ellipse, deux cordes parallèles sont entre elles comme les projections, sur ces droites, des intenalles compris entre les pieds des normales correspondantes.
(*) Nous ne poussons pas plus loin cet exercice de calcul. Dans la démonstration donnée ppr M. Brisse, on lit :
« l'équation
4 If/i
' dont les racines sont imaginaires. Il y a donc trois cercles osculatenrs » imaginaires d'une parabole, (jui touchent une tangente à cette courbe ". {N.A., 1«84, p. 390).
Étonné iPuiio pareille conclusion, deux fois énoncée, j'écrivis à l'Auteur : i< relisez donc la page 590 ». M. B. se contenta de me répondre à peu près ceci : « je n'écris pas pour 1rs savants ; j'écris pour les élèves » . L Itéricurcnienl. la correction a été faite.
("') Cité et démontré par un ancien Elève de Mathétnaliques spéciales. (N. A ., même tome, pp. 455 et 4S8). Tout le monde sait (]ue ce pseudonyme désigne un savant Pnife.^^seur à l'École polytechnique. Kn 184S, alors (|u"i. suivait mon cours, au Lycée Charlcniagne, il .«-e lût dit : Élève de Mathématiques supérieures. En ce temps là, on avait renoncé à la ridicule dénoroinalion de Matliémaliques spécinles, si justement critiquée par Gergonne.
("*) Le lecteur est prié de faire la ligure. (Les points N. N aftpartiennenl au grand axe.)
('^) Par l'emploi des coordonnées, elle est plus courte que celle que nous venons de mentionner.
