CCXXXII. — Snr une propriété nnmériciac

{Novembre I880.)

I. PiioiiLÉME. — La somme des diviseurs de i (> est 31 ; /a somme des diviseurs de 2o est. pareillement, 51. Y a-l-il d'autres couples de nombres jouissant de la même propriété ?

Très probablement, le problème, pris dans toute sa généralité, est fort dillicile. Je me borne à considérer ce cas particulier :

Soit p = 2"H- 1, p étant premier. Pour quelles valeurs de n la somme des diviseurs de p- est-elle égale à la somme des diviseurs de 4"?

La première somme est

p- -t- /) H- I = (2" -H 1 )- -f- 2" -4- 2. La seconde est

çyin ^ 2-"-J -4- 2^" ■ -f- •.• -+- I = 2-"+* 1.

On a donc ré(|ualion

2^" H 2"+' -+- 2" -h 5 = 2-''+* — 1, ou

(*) Comme

(1 -4- 1 -t- l)-=::»--4--i*-+- I, il est clair (]iic

(a^ -4- ir -+- a*.-

n'est pas toujours la sovime de quatre carré.<. Cepeiidaiit :

Si 11 surpnsse 2, lï'inialion csl impossible; car tous les termes, excepté le dcrnior, seraienl divisibles par 2. Mais

Donc la seule soluUoii est p = o,n= 2.

CCXXXIII. — Trajectoire^^ ortliogouales de pollioclieïi.

(Janvier 1885.)

I. Une pol/iodie (*), tracée sur un ellipsoïde donné, est déterminée par les équations

X* tf z"- X- y z- 1

V représentant la distance du centre au plan tangent (**).

Il en résulte, par la différenciation,

dx dy dz

~6V~^' "cV"^' ~7ir''^

La condition d'orthogonalité :

dxSx -*- dyrhj ^ dzoz = 0 , (2)

devient donc, si Ton remet d au lieu de d :

ou, plus simplement,

■^-1 dx

Telle est l'équation différentielle des trajectoires.

(*) Ligne de courbure constante : le mol courbure se rapporte à la surface (Remarques sur la théorie des courbes et des surfaces). ('*) Loc cit.

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