V. Remplaçons les équations (1), (2) par celles-ci

G, Il étant des paramètres variables. L'équation (8) représente une infinité d'ellipsoïdes homothétiques; et il en est de même pour l'équation (9). D'ailleurs, les identités :

a b- c a* fr c

sont indépendantes de G et de H. Donc les surfaces S, représentées par l'équation

aUb' — C-) -P - -+- b'{c' — a-) .f - + c\a' - b-)^ - = 0,

sont orthogonales aux deux sén'es d'ellipsoïdes.

(*) Elle ne diffère, de celle qu'a donnée Scrret {Jourual de Liouville, t. Xll, p. 24{)), que par un simple changement de lettres. N'est-ce point là un argument en faveur de ma méthode ?

(**) On peut consulter, relativement à l'intégration de l'équation (7), le beau Mémoire de Serret.

VI. Plus généralement; Soient deux séries de surfaces S, S, représentées par

f{x,ij,z) = G, (p(x, y, z) = H.

Si une surface S^, appartenant à la première série, est orthogonale à une surface ïl^, appartenant à la seconde série; toutes les surfaces S sotit orthogonales à toutes les surfaces S (*).

€€1LXXIV. — Deux Intégrales déflnies.

(Décembre 186G.) I. De la formule

/ -(/a = col — (**),

on déduit

« ti^Xx o- *0U

o'^TTO.

(/a = cot '2x ,

cot 2x ;

puis

ou

00 r a»ai u— <ax „îott a-ïax

[2(e*" H- e *^") — (e'^ h- l)jf/a = 0,

ou encore :

00 „*ax o-txt

gîTa ,

3C ,XXX p— Ï*X

i*ax ■ a-'iy.--

■) I rfa = /

da.

(*) A-t-oii .siniialé, qufl(|iU' part, ci-ttc propriéti' ('■vldtnti? (**) nicrrns de Huait, Y. "21.

D'après une formule due à Poisson, le second menihre égale ^iga;. Conscquemment,

tgar = ^^ / -^— 1 12(<;*^-^ — e"*^-^) — (e*^' — e"'*^)] . (A)

II. Il résuile de celle égalité, au moyen de rinlégralion relativement à X :

do

— i^ cos a; = / — [(e-^' — e""-')''' — (e''^ — e-"')-] ,

enfin

^ Te**' -H 1 -I- e-'^^]rfa. (B)