CCXXXV. — Sur les développées g;aiiches
(Février 1885.)
I. AB étant une ligne à double courbure, soient C, C, C", ..., les centres des cercles osculateurs, relatifs aux points M, M', iM", ..., de cette ligne. Soient DE, DE', D"E", ..., les droites polaires correspondantes. Le lieu de ces droites est une développable A, enveloppe des plans normaux à BA (*).
Soit pris arbitrairement, sur CD, le point P. Menons M'P, et prolongeons cette droite jusqu'à sa rencontre, en P', avec D'E', etc. (*).
(*) Voir, par exemple, notre Tiéorie analytique des lignes à double courbure.
{**) Construction donnée par 5Ionge. {Application de l'Analyse à la Géométrie, édition de Liolville, p. 596). L'illustre Auteur, pour désigner réiément d'une surface dcveloppabic, dit : une h'edre. Je ne connais pas d'autre exemple de l'emploi de ce mot.
Le lieu des points P, P', P", .. , est une développée ds AB. De plus, celle courbe est une lirjne géodésique de A.
En effet (*),
MPE = M'PE = :2'' — XPE (**);
P[\ étant le prolongement de M'P.
II. Le lieu des droites MP, M'P', M"P", ... est une dévelop- |)able i]|, dont AB est une ligne de courbure (***), et dont PP'P"... est Varète de rebroussement.
Remplaçons P par Q, et recommençons la même construction. Il en résulte une nouvelle développable Ho, dont AB est une ligne de courbure, et dont QQ'Q' ... est Farète de rebroussement. Soit MT la tangente, en IM, à la ligne AB.
(■) Dômonslralion de Monj^e.
(") P;ircc (pic les triaiif^les rcclanr/lis PCM, l*CM' sont éf^aux.
(*") Parce (]iic A.M.M. . 15 est une trajectoire orthogonale des génératrices .1.. V .
Le plan I*MT esl (ongcnl à 1,, et le |)lan QMT est lahi^çcnt à Hj. De plus, l'angle de ces deux plans csi mesuré par PMQ ; car les droites PM, QM sont projetées, sur le plan CMT, suivant le rayon !MC.
Or, lorsque deux surfaces il,, Hj ont une même ligne de courbure, elles se coupent, le long de cette ligne, sons un angle consfant. Donc
PMQ = C07ISI. = P'M'Q' = r"M"Q".
En résumé :
AB étant une ligne à double courbure: soient GFI, KL deux de ses développées. Si, d'un point M, pris arbitrairement sur AB, on mène, aux deux autres courbes, les tangentes MR, MS; l'angle RM S est constant.
Addition. — (^ m/ 1887.)
IIL Le dernier théorème, qui est probablement connu, résulte, immédiatement, de la considération suivante :
La surface polaire de AB étant développée dans le plan tangent suivant DE, la développée PP'P" ... se transforme en une droite pp'p" ..., prolongement de iMP. De même, la développée QQ'Q" ... se transforme en une droite qq'q" ..., prolongement de MQ. Or, dans la figure plane ci-contre, on a :
