CCXXXVI. — Sur la formule : Bip 1 — p

(Juillet 1885.) I. Le premier membre égale

/ (j'"\\ — eyde;

ou, par le développement en série :

sm qTT

&inpn p i p -^ \ I . 2 p -+- :2

[I. La formule ordinaire est

sin/î/T p l'ar conséquent,

1 p-f- 1 I (yj -+- 1)(/^ ■+- '■D 1

CCILXILVII. — Trauïtforinatiou d'uue soiuine eu pi*o«luit.

(Avril 1887.)

L Le Mémoire intitulé : Sur quelques intégrales définies (*), contient la formule, très générale,

r(a H- fi — ?')i'(r — a)r(?— p)r(« H- 'nr(s -\- n)

~~ \\oL)V[P)\\r + n)

(*) Académie (le l-.vhjiqHc, dclobrc 1885.

( «5 ) dans lac|ii('ll('

Posons :

La relation (U) devient

Vc r(a -^(y)r(6-i-r/)r(c-Hy>)

••^ "''' r(« -+-/>-+- c H- (/) ria)r(6)r(c)r(a -h c-+- n)r(6 -4- (•-+- «)

r(a -4- c) r(6 -+- c) r(a + 6 -»- c -+- n) II. On a :

r(o-+-6-4-c-4-«) {a-hb-^c-i-q){u-i-b-i-c-i-q-^-\)...(cM-h-i-c-i-7i—i) '

(« -4- c) (rt -H c -4- 1) ... (a -I- c -4- n — 1),

=-=(6 + C)(6 -4- c -4- I) .. (6 -4- c -4- Jl — I) (*).

(*) D'après lu prcmitTe de ces formules, le produit a(a-h [)...' n -h q — 1) doit être remplacé par 1, lorsque g = 0. D'après la quatrième, le produit

(a H- 6 H- c -4- 7 :((/-+-/> + c -I- f/ -4- 1 ) ... (a -4- 6 -4- c -H n — 1 ) , doit être remplacé par 1, lorsque q = 7i. Etc.

( 66 ) Donc Tégalilc (1) se réduit à

Cette relation permet, on le voit, de transformer, en iinxlnitu fort simples, une infinité de sommes (*). IMais on jjeiit la coiisid«''rer d'un antre point de vue.

m. Changeons c en z, et appelons F(rt, b , z) \c premier membre, Nous aurons ce résultat curieux :

Les racines de l'équation

sont

De plus, si a = b, ces racines sont éf/ales deux à deux; et F(a, b> z) est un carré.