VIII. Cas particulier remarquable. — Dans (A), supposons
a=b = c=\. Une réduction évidente donne cette autre relation :
(I .2.3...»)'-^ w(;j -H 2)(l.2 .Z...n — \f -4-(/î -1)n(n-t-1)(n-4-2). (1 .2.5...« — 2f ^ (w 2)(n — l)n . n(?i -t- i)(H + 2)(1 . 2 . 5 . . n — ôf dî)
= (1.2.5.4... n -+- If. '
Ainsi le premier membre, très complexe, égale un carré fort simple (*).
Soit, par exemple, n = 5. On trouve
(i . 2 . 3 . 4 . 5)-' -t- 5 . 7(1 . 2 . 5 . if -+- 4 . .j . C . 7(1 . 2 . 3)* -H 3 . 4 . 5 . 5 . (5 . 7 (i . 2)'' 4- 2 . 3 . 4 . 5 . 4 . 0 6.7 -+- 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 5 . 4 . 5 . 6 . 7 = (2 . 3 . 4 . 5 . G)',
ou
ce qui est exact.
CrxXXYlII. — Rcprèscutatiou «les lutégpales elliptiques.
(Mars 1885.)
I. Intégrale de première espèce. — Considérons la surface dont lÏMjuation est
{*) La dômonslration dircclo, de régalilé ^^^ n'olTro aucune dillîcullé. Elle résulte de celte remarque :
(1.2.0.4... n -t- D" — (1 . -J . .-) ... iif = (\ .-2 ..-> ... u\^n(u -+- -l).
( <i!> ) L;i formule ooiiniie
v=T / Mi(h, (;2)
donne :
, , /'- ilz
V = nirlr / ■ — zi====, ; (^)
(Iz
\/(z' -4- fr)(z* -+- b^)
Prenant
z = 6li>ç, (5)
on Iriinsforme ainsi la (lilïV'ieniiLllc :
Par suite,
v = 3-a/y-F(r, cp), V = 3-«6"F,(r). (fi)
Donc, si xm corps est limité par la surface (I), par le plan xy et par un plan parallèle à celui-ci, le volume de ce corps est représenté, à un facteur près, par l'intégrale de pre}nière espèce.
II. Intégrale de deuxième espèce. — Le problème est un peu moins simple. Après quelques tâtonnements, j'ai élé conduit
à l'équation
(Ir -+- 2-)- , 1 Ir -+- z-
Il en lésulie :
Ir -+- c-^ • 'V h
puis, par la formule (2),
./ 0 -H 2 V Ir -i- Z
(*) Les Ug7ics de /liveau de la nouvelle surface sont, comme celles de la première, des ellipses.
( 70 ) La Iransformalion (o) donne ensin'te :
V = J-^ r^ ilrrM 1 — ('^si^^9 = J-^ E(e, cp), (9)
V = lim v = TT '-^ E, (e). (i 0)
III. Remarques. — 1° Si l'on prend /■= 6, f/ = a, on a, [)lus
simplement :
u = 7ra-6E(fi, 9). (il)
2" Soit
1 — e"sin^
la longueur (Tiin arc de l'ellipse dont les demi-axes sont a, b;
eel arc élanl compté à partir d'une extrétnilé du petit axe.
Il est clair que
V = Tralis. [i"!
CCJXXXIX. — Une iiitéjçratiou.
(^Septembre 1865.)
