I. Soil l'équation du deuxième ordre

xyy" -+- axi/'' -+- hijij' ^=0. (i)

J'enipldie la transformation connue :

Il en résulte

vi/' — (///' t/(\ — »')

puis, au lieu de la proposée

( 71 ) Celte écpialion, comparée à

suppose

Par conséquent, après une réduction évidente,

u = ex' -+- X (*) ; (4)

y (I — 6)fx* -4- (« + l)x ' y /^ dx

JP±=.(\—I,)/ ; (6)

II. Dans une infinité de cas, l'intégrale peut être obtenue sous forme finie. Soient, par exemple,

Le second membre devient

cdx 1 1 „ ex — !2

/dx ^ /' ^^^^ " j ' p

(câT— 2)ac~2./ ex — ^2 ~ 2 ^ ^ ~ 2 '^

(ex — 2) Donc

r-Ȕ'ic--j;

ou, ce qui est équivalent,

III. Si 6 = 1, les formules (4), (6) sont illusoires. Mais alors rintégrale de l'équation (3) est

Il == a[r; -+- (a H- 1) 4^ xj;

(*) Comme vérification, on peut multiplier les deux membres par x"*. Si l'on prend ensuite les dérivées on retrouve léquation (5).

en sorte que

dx

[r -4- (a -+- 1 ) ^^ x] ' el, sauf le cas de a = — 1, il est impossible d'intégrer. IV. La méthode précédente est applicable à

x''ijy" -+- nx''}j'^ -+- ayy'=^0.

On en déduit léquation linéaire

u' u = ax' '' -H 1 ,

XP

puis

■ I (ax''-'' -^- i)e '-' dx

CCXIi. — Théorème de Géométrie élémentaire.

{Aoûf 1885) (*).

On doit, à Newton, le théorème suivant :

Si, sur les côtés AC, BC d'un triangle ACB, on prend AD = DE, et que Von fasse varier ces distances égales; le point M, milieu de la droite DE, décrit une ligne droite {**).

En voici un autre, que l'on peut regarder comme corrélatif du premier :

Sur les côtés AC, B(î d'un tiianglc AIJC, o)i prend AD = BE. Si, la base AB restant fixe, le sommet C décrit une circonférence passant par les extrémités de cette base; le point .M, milieu de la droite DE, décrit une circonférence ni/ant pour centie le milieu de AB (***).

(*) Complomcnl à hi !\'ofe CXVII.

(") Tlicorèvics cl prnhicmrs (Ir firnnic/ric rlcuirninirc, {'>' l'ilitinii, |i. 1:27. (***) La dénidiislralioii iomiIU', iiiiiiu''diat(Miiciil. <lii l.iMniiu' rappolé dans la Note CXVII.