CCX.liI. — Problème d'Analyse iiidéterminéo

{Juin 1878.) I Soil réqiialion

Si l'on isole u'\ le premier membre devienl

ù[x-lij -h z) -\- if-yz -t- x) -+- z'Hx -*-]))■+- ^xî/r],

ù[\lj -\- Z)X- -H (î/ H- Z)-X -+-(?/ + Z)^-2;J,

OU enfin

Ainsi, la proposée est réduite à

3(// -+- z){z + x)(x -^ij)= u' (*). (2)

II. Posons u = 7)v, puisdéeompnsons 9i' en trois facteurs a,b,c; de manière que

uhc^dv\ (5)

Alors :

f) désignani, suivant l'usage, la demi-somme des nombres a, b, c (**).

Addition. — (i)Jai 1887.)

m. On sait que, n étant impair,

(*) C'est uniquement à cause de VidentUé

{X -\- y -^ Z)^ ~ x'^ — if — z^ = ù[ij -+- z)(z-\- x)[x -i- y),

que je nienlioiinr ci' Pinhlèmi'.

I**) Si ces ii()ml)rc.s ni' smit pas l{tu-< pans, iiii seul doit rélrc "* A'"/rXi,VII.

( 74 ) Donc, en particulier,

(x -i- y -i- zf — (x^ -t- tf -+- z'") = A(j/ -f- z)(z -+- x)(t -+- y);

A élant une constante (*).

Si roii, suppose

on trouve

CCXIilI. — Une propriété des proje^rcssioiis aritliiiiéti«|ucs (**).

Il suffît de l'énoncer ;

Soit une progression arilhinéliqiie, composée de n teniivs. Si, de II fois la somme de leurs carrés, on retranche le carré de leur somme, le reste est constant {*).

Exemple ':

5( 52 ^. r-^\V-^-['à--^ld') — { 3+ 7-HllH-lû-+-l9)- = 80u =-5( 7'-+-ll'-+-15'-t- i9'-4-!25-) — ( 7-t- Il -+- 15 -+-!!» + >23)* = 5(ll--+-i5'-4-l9'-+-2D'''-K-:>7-) - (11 + 15-+- iy-i-23-t-"27)-.

(') Piirrc (jun l'ôqiiation est Ijomugèiif.

(*'; (^ompU'iiicnl au .Mémoire iiilitiili' : Sur un flrvrlop/jcmeiif tir t'inln/ralc ellipliquc de première cspèo'... (p. ^4-).

(***) (rcslà-ilirc, ifiti('peM(laiil du pii'iuifr Iciinc.

( 7Ii )

CC'Xl^Ill. — Applic'Htion «lu Tliéorènic de liHncret (*)

{Septembre 1875.)