II. Exemple. — On satisfait aux conditions (2) en prcnnnt
■io
(*) Omise dans la Théorie analytique des lignes à double courbure. (**) Loc cit ; pp. 15 et 16.
Il résulte, de ces valeurs :
225 320 , GJ5
ab'-ba' = -—, bc' — cb'=-^, ca'-ac = "^ ;
puis
ou
conformément à l'énoncé.
Addition. — (l/fl? 1887.)
III. Pour éviter les fractions, ou peut remplacer la première (les conditions (2) par celle-ci :
a- -+- b' -^ c' = Ir [*). (3)
Alors (A) devient
2 lk{a'b" — b'a")]- = (a'- -*- h'- h- c"f -+- [S {ab' — ba')c"y. (B)
Si, par exemple, on suppose :
on trouve
(') Pit'iiaiil (/ et II ;u-l)itr;iiiciiiriif. on iloc(iiii|)(ist' n* -+- f>' en deux facteurs, de nn'tnr i>iiniv : liiii es! k -h c; l 'aiilre. A- — c; etc.
CCXliIl . — ('ous6c|u<>uccN (lu l'rohléinc «le llalfatti.
{Octobre 1874) (*).
F. En évaluant, do deux manières différentes, l'aire du triangle ABC (**), on est conduit à celte proposition :
Si trois quantités f, g, h satisfont à la condition
r<j-^<jh-^hf^\ r). (I)
elles rendent identique Véquation
II. Dans cette identité (2), dont la vérification est plus longue que dillieile :
1 — ti; i A I — tg i B \
' ^' I +tglA' -^ "^' i +«SiB'
Elle exprime donc une relation entre
Toutes réductions faites, cette relation se réduit à celle-ci :
tgiAtglBtgiC- (tgMtg^B + tgiBtg^C -t- tgiCiglA) ) — (tgUH-tgiB-4- tgiC)+ I =0, • )
laquelle est connue.
(*) Complément de la ^'ote LXXIl.
(**) Loc. cil.
(*'*) Loc cit.
("■) Loc. cit.
Addition. — (Février 1886.)
Fil. Théorème d' Arilhmétique. — Si (', g, li noiit trois cnticra , satisfaisant à la condition (1), la quantité
S(i-fg){\-h){\ +/•)(! +9),
est divisible par
IV. Application géométrique . — Remplaçons f, g, h par x. y, z ; et considérons les équations :
x}j -4- gz + zx = \, (5)
S(\-xg){] -z){\ +x){l-^ij] = 0. (6)
La combinaison des deux conduit, d'après la proposition cidessus (1), à l'équation
(, ^ ^ ^ y ^ ^)2x(l -/)(! - ^•^) = 0; laquelle se décompose en
L'équation (5) représenie un liyperboloïde de révolution (à deux nappes), dont l'axe est la droite isogonalc. L'équation (7) représente un plan perpendiculaire à cette droite, et, par conséquent, parallèle aux plans cycliques de Thyperboloïde. Mais, comme on déduit, des équations (2), (o) :
le plan ne coupe pas r/njpcrboloïde.
Quant aux équations (^0), (8), elles représentent deux surfaces
S, i], (elles, que chncune est située de la mèrne manière, relativement aux trois plans coordonnés.
On vient de voir que ré(|ualioii (8) est une conséquence des équations (ii), (G). Donc :
La ligne, suivant laquelle l'hijperboloïde coupe la surface S, est située sur la surface 11(*).
V. Remarque. — Trois quantités f, g, h ne peuvent satisfaire , à la fois, aux conditions
fg ^ (ji, -+- i,f= I , /■ -+- .7 -+- h = — 1 (••).
CCXEiV (***). — Sur la projection »itércog;rapliif|uc.
{Mars 1874.)
Théorème I. — Un ellipsoïde étant donné, on prend pour TABLEAU un plan diamétral A0I3 , et, pour i'oint de vue V, l'une des extrémités du diamètre conjugué de AOB. Cela posé, les perspectives de toutes les coniques C, tracées sur l'ellipsoïde , sont semblables à la section diamétrale AOB (").
Corollaire. — Si AOB est une section circulaire (auquel cas V est un ombilic), les perspectives de toutes les coniques C sont des cercles c.
(*) Soil P un |)l;iii rycli(|ii(' de l'li\ pcrljoldïdr. !1 cînipc l'aii;^!'^ ti'iètlre des cooi'donnces positives, suivant un triani^Ic équiiatéral ; cl il coupe les surfaces S, 2, suivant deux couri)es s, a, telles, que diacunc a^l sl/ucc de la même manière, relative nient aux côtés du triamjle. Cela posé, si M est un point du plan I', commun au (jaiallèie de flix perlioN/ide et à la courhe c, M apj)arlienl à la courbe a.
('■) On peut sp rappeler qu'à notre j)oinl de vue, les imaginaires ne sont pas des quantités. [Cours d' Analyse de l'Unirersité de Liège , p. !G7).
(***) Tirée des Comptes rendus.
(") Après Timpression, j'ai appi'is que ce (liéorèmc appartient, en partie, au savant Hachette, mon ar.cien Professeur.
Théouème II (Mêmes hypothèses que dans le Corollaire). — Considérons , dans le plan du tableau, un système orthogonal formé d'une infinité de cercles c et d'une infinité de cercles e' (*) :
1° les plans P, des (Otiitjiies C, dont les perspectives sont les cercles c, passent tous par une même droite D;
2° les plans P', des coniques C, dont les perspectives sont les cercles c", passent tous par une même droite D ;
ù° les droites D, D' sont conjuguées, c'est-à-dire que le pôle de chaque plan P est situé sur D' ; et vice versa.
Théorème III (Réciproque du précédent). — Soient C les coniques dont les plans passent par une droite D, et C les coniques dont les plans passent par la droite I)', conjuguée de D : les cercles c, perspectives des conir/ues C, et les cercles c', perspectives des coniques C, constituent un système orthogonal.
Remarqties. — I. Le système orthogonal est le plus simple possible quand, les cercles c ayant leurs centre:- sur Taxe moyen OB, les cercles c' ont les leurs sur le demi-diamètre OD = OB, situé dans le plan principal AOC. Alors les droites D, D', respectivement parallèles à OB, OD, rencontrent le diamètre OV en des points U, W . De plus, OK.OR' = OV , absolument comme dans le cas de la sphère.
II. Puisque, à chaque point M, inlerseelion de deux coniquts obliques (**), correspond un point nï, intersection de deux cercles orthogonaux, rensemble de tous les cercles c, t' (ensemble déterminé par des points fixes, A, B, [)ris arbitrairement) eonslilue un nouveau svstènie de coordonnées. Ce système orthogonal circulai)^' pourra, peut-être, s'appliquer à certaines questions relatives à rellipsoïde.
C) Joiininl ili' Lioiicillr, t. Xl\, p. loi.
(") C'est ii-(liri', xe coupanl ohliqm-mviit. .M;iin 18>S.)
4'4'^liVI. — î«»ur l"lli'llc««'-eaténoïdlqae (*). (Août 1874.)
I. T II KO m": Mr.. — Soient une chaînette AC, située dans le plan zx. et une hyperbole v(iuilatère AfI, située clans le plan xy (**). Ces deux courbes ont même axe OAx, même sommet A; de plus, Oz est la directrice de AC. Cela posé, la courbe AMI, projetée suivant les deux courbes données, est une hélice.
Les équations de celte courbe sont :
Si Ton élimine x, on trouve
Considérons le cylindre qui contient la chaînette AC et la courbe AIMI; soit PM une génératrice de ce cylindre, limitée aux deux courbes. La dernière équation exprime que
PM = - 1 e" — e
Mais, d'après une propriété connue, le second membre représente aussi la longueur de l'arc AP. Donc
PM = arc AP. C. Q F. D.
IL Si une hélice-caténoïdique est éclairée par des rayons parallèles, Vombre de cette courbe, sur un certain plan, est une hyperbole équilatère (***)•
(*) Réponse (indircclc) à une question proposée dans la Nom^elle Correspondance mallié»iatiqiic (l. I, p. 07).
(**) Le leclcur est prié de faire la figure.
("*) N'est-ce point au Professeur Guillery que l'on doit le théorème suivant, attribué parfois à Th. Olivier : L'ombre de l'hélice ordinaire petit être une cycloïde ?
CCXEiVII. — L'n dcvcloppcnicnt de -: —
{Mai 1874.) 1. On sait que
sinx ./ I -+- cosxsina
donc
sinx
= y ( — i)"cos"x / 'sin"ac/a.
L'intégrale définie a pour valeur
y In ^ i
Par conséquent,
Addition. — {Mai 1887.)
