R„= COS

cosxsma

et en faisant voir que ce reste tend vers zéro, même lorsque COS a-= 1. Au lieu d'entrer dans ce détail, posons :

de manière que

arccosz

cosx

■ zi

Vi-z-

(*) Sous le rapport de Vincommoditc , elle est comparable à Tune de celles que j'ai reiiconlrces en étudiant la constante G (Recherches sur la constante G..., p. 51). De plus, les termes de la série (5) sont les carrés des termes de l'autre.

( 84 ) Tant que z est inférieur à 1,

Or,

arcsinz

arcsuiz

' yi — z'

Par

conséquent,

comme ci-dessus (6). En outre, en série converçicnte,

arccosz

et, se z == 1

TT i 77 2 1 . 3 ^ 2 . 4

CCXIiVlII. — Sur les ligues g:éodésiques de l'ellipsoïde.

{Mai 1882.)

I. Inlroduction. — On doit, à Liouville, le théorème suivant :

« Si parallèlement à la Innrjente en un point quelconque M » d'une ligne géodésique et à la tangente conjuguée, on conçoit » deux demi-diamètres de rellipsoïde , la perpendiculaire H » abaissée de Vextrémilé du second de ces demi-diamètres sur le » premier sera constante (**). »

La démonstration géométrique donnée par mon illustre Maître

(*) Voir, j)ar exemple, Notes d'AUjèhc cl d'AïKilt/sr. p. 14. ('*) Journal de Mulhrmaliqtics, t. XI, p. 'i'i.

me paraît peu satisfaisante (*). En déduisant le théorème de Liouville de celui de Joaeliinislal (ce qui est naturel et connu), on peut modifier l'énoncé du premier théorème, de manière à rattacher echii-ei, jusqu'à un certain point, à la théorie de la polhodie.

U. Démonstration nouvelle. — Soit MT la tangente, en M, à une ligne géodésique AMB. Soit FGFI la section faite, dans rellipsoïdc E, par un plan central, parallèle au plan tangent

en M. Soit encore P la distance de ces deux plans. Menons, dans

la section centrale, le demi-diamètre OG et la tangente HS,

parallèles à MT. Le théorème de Joachimstal consiste en

l'équation :

OG.P = consf. (1)

Les demi-diamètres OG, 011, OM sont conjugués deux à deux;

donc le parallélipipède, déterminé par ces droites, a un volume

constant. Ainsi

P.OG.OHsinGOH = co«.s<. (2)

(*) Il en est de même de la démonstration publiée, il y a un an, dans les Nouvelles Annales (1882, p. i9). Qu'est-ce que le savant auteur appelle tangentes conjuguées sur la surface?

Menons OK perpendiculaire à fJS : OR = OH sin GOH. L'égalilé (2) devient