V.OG. R = const

Comparant avec la relation (1), nous avons donc

OK = const. ;

ce qui est le théorème de Liouville. Mais nous pouvons l'énoncer ainsi :

Soit MT la tangente, en M, à une ligne géodésique AMB. Si, par le centre de l'ellipsoïde E, on fait passer un plan parallèle au plan langent en M, la tangente HS à cette section centrale, parallèle à la tangente MT, est à une distance constante du centre.

m. Remarques. — \° Le lieu du point R est une courbe sphérique.

2° La droite IIS, (angente à l'ellipsoïde E, est tangente à la sphère S ayant 0 pour centre, et OR pour rayon.

5° Le plan tangent, en H, à Tellipsoïde, est parallèle au plan GOMT. Si celui-ci était perpindiculaire à FGH (*), le premier plan coïnciderait avec celui qui est tangent, en R, à la sphère S; et alors la droite RS serait génératrice d'une développable 2, circonscrite à l'ellipsoïde et à la sphère. Par suite, le lieu du point II serait une pollwdie. Mais il n y a pas de lieu du point H, attendu que le mouvement de la droite RS n'est pas délerniiné par les conditions du problème.

(*) Celte hypollièse, que rien ne justifie, m'avait paru résulter du le.xte de liiouvillc {loc cit.). Naturellement, elle conduit à des résullals absurdes, inutiles à rapporter. (Juin 1887.)

eC^^I^IX.. — Tliéorcme d'AIffèbre (*).

{Mai 1872.) I. Si Voii donne les équations

ax' -+- bu' l)x' -t- cy' , ,..

X = l,{x — xj — (a - c)(x - x'){y — y') —b[y - y'f, [i) Z = (a -+- s')(c +''] — ''* (3)

dans lesquelles les incowiucs sont

/e produit XZ esf indépendant de \', y', z'.

On tire, des équations (1) :

L'égalité (2) peut èire écrite ainsi :

Xz"= 6(ax' + 6?/'/ — {a— c]{ax' -^ by'){bx' -^ aj')— b[bx' -^ cy'Y; puis sous cette forme :

Xz'"-= {ac — b^}[bx * — (« — c)x'y' — by'^] ; puis encore sous celle-ci :

Xz'- = {ac — 6")[(6x'-+- cy']x' — {ax' -+- by')y'\. (5)

D'après les équations (1), la quantité entre parenthèses égale

c'est-à-dire

i^'lJ — y'x)^'-

(*) Obtenu par une étude sur les Systèmes triplement orthogonaux (voir la AWe CCXXXIIi).

Donc

Xz = {ac — b^) ix'y — y'x). (6)

D'ailleurs, par les formules (4),

^'y ~y'^ = \ [6a-*— (a — c)xy — hf\ Ainsi '

XZ = (ac — U^hx" - (a — v)xy — \nf |. (A)

Addition. — (Jimi 1887.)

II. Interprétation géométrique. — Au lieu des équations (1), prenons :

ax -4- by ■+- {x — o)z = 0, bx h- cy -+-(?/— p)z = 0 ; (7)

puis Téqualion auxiliaire :

lb{<K-xy-{a-c){a — x)[p—y)-b{&-yy][{a^z){c-^z)-b'] ,

= [boL- — {a — c}y.p — bf- j {ac — b'). S ^^

Pour toutes valeurs particulières des paramétres a, (3, les équations (7) représentent deux paraboloïdes hyperboliques P, P'; et réqualion (8) appartient à une surface S, du troisième ordre, dont les lignes de niveau sont des coniques semblables.

Cela posé, d'après le théorème précédent, si l'on éliminait X et y entre les trois équations, on trouverait une identité. Donc les trois surfaces se coupent, deux à deux, suivant une même ligne.

CCIj. — Problème trouvé en son^e.

(9 mars 188(1.)

I. Décomposer une fonction donnée, f(X,y), en deux parties M, N, de telle sorte que iMdx -+- Ndv soit une différentielle exacte.

La seconde partie égale f(x, //) — M. 1/équalion du problème

est donc

Mr/x -t- ^f{x. y) — }i]ily = du. (i)

{(Ixj et leurs intégrales :

J dx

Oïl doit avoir

rfRl (//■ rfM

dy (/x (/x ou

r/x dy dx équation aux dérivées partielles, du premier ordre.

Les équations auxiliaires sont :

rfiM

dx = dy= -—— ; (3)

fdl\

Dans ^, on doit remplacer x par c/- -\- y. Ainsi

rdf

M= / —dy -+-ç(x — y); (o)

pourvu qu'après l'intégration on suppose a égale x — y.