De la double identité classique
(a- H- fc-)(a= -+- i^') = (aa ± bif -t- (a^ ryi bu)\ {{)
on conclut
(a- H- b'){oi' -t- p7- = {aa' ± 26ap — apj -f- (6a' =p 2aa|3 — bpj,
ou
/««-±26aS — aâ-\2 /6^"-q=2aa8 — 68-\2
En général, les fractions entre parenthèses ne sont pas réductibles à des nombres entiers Ç). Conséquemment :
(') OEuvres de Lagrange (publiées par Serret), t. 111. p. :211 ; Théorie des Nombres, de Legendre, t. I, p. 205.
('*) Legendre dit, à l'endroit cité : « tout diviseur de la formule t- -i- u'... « Je ne pense pas que f^ ■+- u^ soit une formule.
(***) Très proDableraent, Tomission a été volontaire; la décomposition en deux carrés entiers étant seule etïicace.
C^j a, p sont des entiers arbitraires, positifs ou négatifs.
La somme des carrés de deux nombres entiers est décomposable, d'une infinité de manières, en deux carrés fractionnaires.
En particulier ;
Tout nombre premier, de la forme 4y. ■+- 1 , est, d'une infinité de manières, égal à la somme de deux carrés fractionnaires.
Par exemple,
î!]V (ly^ (!!)V (il) ; etc.
17/ \17/ \\ll \17/ '
III. A, B étant deux nombres entiers, premiers entre eux ; soient a, 6 deux nombres entiers, premiers entre eux, et tels, que a^ -h />- divise A^ h- B^. D'après le théorème de Fermât, la fraction
doit être réductible à la forme a'- -h b'- ; a', b' étant deux nombres entiers, premiers entre eux. Or, si l'on applique l'identité (1),
on trouve
Aa -jt Bh M) ^i B«
ir -+- h a'- -^- b-
et, par conséquent :
A- -t- ir /Aa it BbV (kb ziz liaV
Ainsi, où l'on devrait rencontrer deux carrés entiers, on trouve deux carrés fractionnaires.
(*) J'ignore s'il existe (|Uol(Hic formule (]ui doiiiie, sous fonnc entière, I:) valeur du premier meiiibrc.
( 15 ) IV. D'après la Noie CXCVI, si
N == (a^ -+- c-fr — 2[(a'^ -h li" + c*) ^ — aV] /^ h- (6* + c'^)^^^ (4) on a
id" -+- c7N = j [(a- H- 6'^ + c')c^ — a'b'']ij — (o^ + eff\
Supposons que «^ -i- 6^ h- c^ soit un carré m^. Alors (a^ H- c^N = j (»iV — a'b^)g — {a^ + c')f\' -^ 4a^6Vmy
est une somme de deux carrés. Donc, en vertu du théorème, N est, pareillement, une somme de deux carrés entiers {*). Mais l'application de la formule (3) donne deux carrés fractionnaires (**).
Soient, par exemple,
d'où
puis
23/ \ 25 y D'autre part, au moyen de la formule (4) :
