II. On tire, des équations (d

{t -+- e)p — qs (r -V- &)q — ps

après quoi la substitution dans (4) donne

(l-+-;;^-+-7>--+- [(1 +p^)? — 2/)7S-+-(l-4-r/)r]^-+-H — s'=0. (9) Si R est le rayon de la section normale, tangente à MA :

[i-^f-^qr-,-[{\-^p-)t-^pqs-^{\-^q')r] ' ^

-+- rt — s' = 0 (**).

Donc, abstraction faite du signe, l'auxiliaire ô est donnée par la formule

(*) Loc. cit.

("} Voir, par exemple, V Analyse appliquée, de Leroy, p. 344

Aulrement dit, ^ est la projection, sm^ l'axe Oz, du rayon principal R.

III. Si 11' est le second rayon principal, on a, par l'équation (10),

i ri — s"

RR' (iH-p^H-^-f Donc la formule (7) peut être écrite ainsi :

P = [fs - pq {r - 0 - rs] ^^'^l^^'^'^' (*)• (^2)

(') La réduclion de la forme (G) aux formes (7) ou (i2) doit, sans doute, pouvoir cire interprélce géométriquement. J'ai cherché celle interprétation; mais je n'ai rien trouvé de satisfaisant, même quand les sur'faces données sont des quabtiques homofocales. Quand il en est ainsi, on a (*) :

c*(^^ — y^ i c*xii c\a^ — x*)

cHa- - a;^ - b'' -+- v") , c«

t = ■ — , ri — s^ ^=

Donc :

p^s — pq{r — t) — q*s =

c^xy (x* ir\ c^xy (a* — 6*)c*.rî/

\ c^xy

- -r^ ia' - a;^ - 6» -4- y') = - / a*b*z''

a'fc'sMa* i,ij a*b*z'' a'b«s*

puis

(«^ — b'')c'^xy

(*) CuAKLss DupiN, Développeiiienis de Géométrie, p. :203.

€'(^lill. — >»ur la C>6oni«'tric de Mlll. Itrwcard, liCiuoiiie, IWoibIic'i*;;;, «le ljOUj;;cliunips, ... (').

{Avril 188G.)

I. Théouème préliminaire, — Si trois droites APA', BPB', CPC,

issues des sommets d'un triangle, se coupent en 7m point P, les sijmétriques de ces droites, relativement aux bissectrices inférieures, se coupent en un point Q (**).

Appelons y les angles égaux ACC, BCC".

Dans les triangles ACC, ACC", BCC", BCC :

AC sin?'