S„ (a -+- n)(/) -f- n) u„ ab

ou, ce qui est équivalent,

S„ = — i H -7 Wn-

ao

Ainsi, /a somme S„ s'exprime, forl simploneut, au moijen de u„. \ll. Suite. — On a

De là résulte que la série esl toujours convergente (*). En effet,

nh — /)

liinl (n -»- 1) n

= li

(■) Les constantes n, 6 sont supposées positives. (**) Traite élérupiitaire dr.i séries, p. 23.

Par suite,

//wi.S,, t= S = — 1 H lin)\{u -H n)(6 -H w)m„]. (12J)

ab -^

Pour évaluer celte liniile, nous nous servirons d'une proposition auxiliaire.

XIII. Théorème. — Soient quatre nombres a, b, a', b', têts que a H- b = a' H- b', et soit x une variable indéfiniment croissante.

On a

""'•t; ^^rr, ==^- ('5]

r(a' -Hx)r(6' -+-X)

Posons

r(tt -4- x)r(6 -t- x) ^^r(«' -f-x)r(6'-t- x)'

ou, ce qui revient au même :

Supposons que 6' soit le plus grand des quatre nombres donnés. Nous aurons b' — a = b — a' > 0.

D'après le théorème d'Eu I or, exprimé par l'équation B(/3, m) B(/), m ■+■ q)