II. Considérons le nonnbre entier
(n-+- \){n - 2)... yn
Soit p un nombre premier qui divise le dénominateur, et soit p" la plus grande puissance de p qui divise Q^{n).
Comme
cp(n)
'(i . 2 . 5 ... nf '
on a
ou
"In
pi \p/[
D'après le Lemme, si 1 est le nombre de ceux, des quotients entiers
\p/ \p-i \pV qui sont impairs,
{') Note LXXXF, 5j a.
Voir Note CVII.
III. iixemplc, n = Mi. — Les valeurs de p sont 2, 3, 5, 7. 11, ir>. Pour p = '2, les (niolicnls impairs sont
^2/ \4' \.s/ \i(; Pour y; = 5, les quotients impairs sont
Pour p = 5, le seul quotient impair est
Pour p = 7, 11, 13, aucun quotient n'est impair.
Donc
E êtanl. un nombi'e entier, composé des facteurs premiers cuni pris entre 16 et 50.
En effet,
IV. Changeons de notation, et appelons a, [3, y, ..., tt les nombres premiers qui ne surpassent pas n (*).
Soit a lé nombre de ceux, des quolienls /— ], ^ , ..., qui sont impairs;
Soit b le nombre de ceux, des quotients (^j, [^}, ..., qui sont impairs;
Nous aurons, par ce qui précède,
E étant un nombre entier, composé des facteurs premiers compris
entre n -h 1 e/ 2n, s'il en existe.
V. Postulatum de Bertrand. — D'après M. Bertrand, enfre n et 2n, il y a, au moins, un nombre premier {*), Autrement dit, le nombre E surpasse I (**). Ce célèbre postulatum équivaut
donc à l'inégalité
cp:n) > a-pV'-.. sr''. (B)
VI. Remarque. — La IVote citée contient (p. 8) cette autre traduction du Postulatum :
Le nombre entier n, étant supposé compris entre 2* et 2*+' — i , soient [3, y, d, ..., tt les nombres premiers impairs, non supérieurs à n, Soient en outre :
1^, le nombre de ceux, des quotients (^), [ — ], •••» qui sont impairs ;
ig, le nombre de ceux, des quotients (^J> (Ir)» —,qai sont impairs ;
Si, entre n ■+ \ et 2n, // ij a des nombres premiers, on a
et rcciproquemcnt. De plus, le premier membre de cette inégalité
est la quotité de ces nombres premiers.
Soit, par exemple, 71 = 15; et, par conséquent, k= 3.
On a
(3 = 3, r = 5, 6=1, f=li, 77=13;
puis les quotients
(•) Voir les Notes LXXXI et CCXXV.
(**) Si II siir|)as.-o l, K surpasse //.
( Ml )
Tous ces quolienls sont /;a/r.s-, exccpt*' {l~). Donc
/, = 0, /î=l, /:, = 0, ..., puis
Effeclivement, entre 10 el 50, il y a quatre nombres premiers; savoir: 17, 19, 25, 29.
CCMjJL. — Théorème d'Arithmétique.
(Juillet 1886.)
Nous avons cité, fréquemment, la propriété suivante, énoncée dans le Cours d'Analyse (*) :
a, b étant deux nombres entiers, premiers entre eux :
= entier.
En voici une autre, du même genre, qui nous parait curieuse : n étant premier avec 6, on a :
= entier. (A)
1 . 12 . 5 ... n X 1 . 2 5 ... 7î — 2 Pour la démontrer, il sullil de vérifier la relation '"In — 4\ ln\ In — 2^
p I " \pi \ p
p étant un nombre premier (**).
1° Soit /j = 2. A cause de n = 2n'-i- 1, la relation (1) devient
lAn' — 2\ ^ /2«' -+- 1 \ /2n' — 2^ >
(*) Page 48.
(*•) En effet, de
on conclut
\px) > \^,x] "*" \px]
ou
2w' — I ^ n' -+- ;ï' — i ; ce qui est exact.
2° Soit /? = 3. On peut avoir 71 = 6n' ± 1.
Dans le premier cas, on trouve
et, dans le second,
3° Supposons p > 5.
Si f "~ ) est impair, on a (*)
2/î — 4\ ln — '2\
donc la relation (1) se réduit à
pi ^ \p
et celle-ci est évidente.
Si l ] est pair, posons
2n — 4 = 2ap -+- 26, ou
La même relation (1) devient
__ (ap + 6 -+- 2\
OU
P Or, celle équation est une conséquence des inégalités
(') Note ceux.
CCIjXI. — Sur le* Wonibrc» de Sc^ncr (*).
(Août 1886.)
XVIII. Relation vntrc les iSoinbrcs de Sccjner cl les Nombres de Catalan (**).
Le petit Mémoire iniitiilé: Sur un développement de l'intégrale elliptique, de première espèce (***), contient les égalités suivantes :
J^=(2»-irTU,-4^(2«-ô,'n.4.'^'j^(2«-5m-,-...,
On en conclut, évidemment, une équation du premier degré, entre les carrés des Nombres de Segner. Elle paraît devoir être fort compliquée.
XIX. Propriétés nouvelles ('). — 1° Soit i le nombre des termes impairs compris dans la suite :
selon que n est pair ou impair, T„ est ou n'est pas divisible par 2' C').
(*) Complément à la Noie CVII. (Congrès de Nancy.)
(**) M. l'Amiral de Jonquières m'a fait l'honneur de proposer cette dénomination, qui n'a point prévalu. Je l'emploie pour abréger.
(***) Académie de Belgique^ 10 octobre i885.
(") Les nombres entiers Pj, Pj, P., ..., que M. de Jonquières a bien voulu calculer, ont les valeurs suivantes :
C) Addition au paragraphe XVIF.
(") Cette proposition résulte de l'égalité
nT„+i= Ci„-i,u-\, (7)
2" Lorsque
/2n — 5\ n=ô^-H 1, T„ = ^7Il[— ^j-
Dans les cas contraires,
T„ = JR(2n-5).
On sait, el il est facile de prouver, que
C,„,,. = JlL(i)« — J).
Or,
Donc
(n^\)T„^,= jn{'2n-\),
ou
(,j l)T„ = jn.("2n-5). (57)
Cela posé : si w ^ 5p . + 1, celte égalité se réduit à
f^T„ = jn{'2f.-\).
Et comme y. et '2y. — 1 sont premiers entre eux, on a
Soit n= ùu. Alors
combinée avec le Ihéorème suivant :
s ctunl le nombre des termes impairs compi-is dniis la suite
Cîn.n ^*' divisible par 2% et le quotieiit est impair (Mémoire sur eertaiues décompositions en carres, p. Gb). Ajoutons que :
1» Si n est impair et égal à 'i'-'n' •*• I , i — a est positif; 2» T„ est divisible par 2'"^. Enfin, d'après la relation (7) et une propriété démontrée : 5i m est premier avec 6,
C2«-i.n-î = J)]^ (n- — II).
( Hîi )
Mais, évidemiiKiil, 5fj. — I ci Gp. — 5 sonl prcinicis eiilrc eux;
donc
T„ == JÏV(6// - 5) = .m {'211 — ri).
Si )i =3u — 1, on trouve, avec la même facilité,
T„ = CPPi{(i^ 7) = JÎI (2rt - o).
3° Daîjs la suite T.,, Tji T„, T„^,, ..., deux termes consécutifs ne sont pas composés des mêmes facteurs premiers.
Pour démontrer celte proposition, je m'appuierai sur le Lemme suivant, à peu prés évident :
Si deux fractions équivalentes ont leurs dénominateurs premiers entre eux :
1° Ces fractions se réduisent à un nombre entier;
2° Leurs numérateurs ne sont pas composés des mêmes facteurs premiers.
Ceci admis, prenons l'égalité (2) (*), mise sous la forme
Si n est premier avec 6, les dénominateurs sonl premiers entre eux; donc T, et T„, , diffèrent par les facteurs premiers de n et de in — 6 (**).
Soit n = 2*5%', n' étant premier avec G. L'égalité (58) devient, si l'on suppose a et [3 différents de zéro :
et l'on retombe sur le premier cas.
(*) A'o/e CVII.
(■*) Soit, par exemple, h = 13, ou in — 6 = 4G. On a
conformément à renoncé.
XX. Groupes relatifs à un nombre premier. — Soit, comme ci-dessus (XVIL 5"), /> un nombre premier, supérieur à 5. On a vu que :
Si T„ est divisible par p, sans que T„, /e soit, p divise 2n — 5. Les termes
tous divisibles par p, constituent ce que Ton peut appeler : le premier groupe relatif au nombre p.
Après 2w — S = p, on peut prendre
ou
De ces valeurs résultent une infinité d'autres groupes relatifs à p ; savoir :
Les Nombres de Segner, compris dans ces groupes, sont les seuls qui soient divisibles par p (*).
Cela posé :
Si T„ appartient au premier groupe, n est compris entre ^'-^ et p, inclusivement;
Si T„ appartient au deuxième groupe, n est compris entre ^^^ cl 2/), inclusivement ;
Si T„ appartient au troisième groupe, n est compris entre ^~^ et Zp, inclusivement;
(') On reconnaît aisément que :
i" Les groupes n'empiètent pas les uns sur les autres ;
2" T,,, t, Tj^fi, Tîp^.i, ... ne sont pas divisibles par p.
Les valeurs de p sont ainsi délerminécs par les relations suivantes :
De plus, tous les nombres premiers , p, qui ij satisfont, divisent T„.
Soit, par exemple, n = 23, auquel cas :
et, par conséquent,
En effet, T23 appartient au premier groupe relatif à 23, 29, 31, 37, 41, e^ au deuxième groupe relatif à 13.
XXI. Postulatum. — Soit p un nombre premier, supérieur à n. S'il divise T„, on a
M<p^2« — 5; car les relations
sont impossibles.
On est donc conduit à la proposition suivante qui ne diffère pas, au fond, du célèbre postulatum de ^]. Bertrand (*) :
Entre un nombre entier, supérieur à 5, et son double diminué de 5, il y a, au moins, un nombre premier {**).
(*) Voir la Note CCUX.
(") Très probablement, lu démonstration rigoui-euse doit être fort simple; mais, jusqu'à présent, je n'ai pu la trouver.
CCJLXII. — I.cUrc à IH. De Tillj.
Clier Cl savant Confrère, Savez-vous, en effet, intégrer
— =Ax"', (1)
m étant quelconque? S'il en est ainsi, la théorie des équations linéaires vous doit un progrès considérable, cl je me reproche de n'avoir pas étudié votre mélhode. Rappelez-vous que Liouville a cité, avec éloges, le procédé au moyen duquel Kummer intégrait, péniblement, l'équation
Quant à l'équation
dx"
xy, (5)
encore plus simple que la précédente, voici ce que je trouve dans mes notes de mai 1884, et que j'ai donné à mes élèves, m illo tempère.
Soit G, une racine primitive de 0'" — 1=0. Une intégrale particulière est (sauf erreur) :
/oc Q.m I m—t \
e~i;:\e''' -t- e^-^''" -4- ■■. -t- e*^' ']da.
Ainsi, l'intégrale générale est une somme de m — 1 intégrales définies, respcctivemenl muliipliées par des constantes. Avezvous la valeur de y, au moins dans certains cas, sous forme finie? Alors, voilà une vraie fabrique d'intégrales!
Soit m == 2. Par ma (?) méthode,
e^ •" {e^^ ^ c-^)da. (5)
( lli' )
Mais il est cvidenl (ei flrc7a'-eonini) ([ue :
On doit donc avoir
e~*(e«' -4- e--'']da = ke^ . (7)
Pour déterminer la constante h, je suppose a; = 0 :
/,oo a^
e ^ rfa = 1/2t.
En conséquence :
formule probablement connue (*).
Revenant à l'équation (2), je irouvo, comme intégrale particulière (toujours sauf erreur de calcul) :
udue~^^ l e~^MT(e^--f-e^.^--+-...-+-e «''"') (/a; i (9)
6, étant une racine primitive de 6'"+* — 1=0.
Je désire, mon cher Confrère, que celte lettre soit de nature à vous intéresser. Puissiez-vous en tirer quelque chose!
Salut affectueux.
Spa, 5 juillet 1 886.
(*) Bien entendu, je n'ai pas, ici, les Tables de Bicrciis
