CCXXIII. — Sur l*cquation tr ^ x' -H y' -+- z

(Mai 1885.)

I. Une solution. — Si p désigne un nombre premier, de la forme 4-u -+- 1, on peut prendre y"^ -*- z'^ = p (*). De plus, la condition (u h- a) (it — x) = p donne

w-+-x = p, n ^- X =^ \\ puis

u = 'ifjt. -^ \ , X = îLfjL.

Soit, comme application, ;; = 75 = 64 + 9, auquel cas a = 18. La proposée est vérifiée par

II. Autre solution. — D'après les formules du Mémoire sur certaines décompositions en carrés (***), on satisfait, à l'équation

U' :^ X- + îf -4- z*, {{)

par les valeurs suivantes :

x = 2ar, y = '2pr, z = — i-' -t- «- -+- 3% u = r' -+-«"-+- ;S^ (2) a, [3, y étant des nombres entiers quelconques. En effet, la relation

(a' + ^* -+- ry- = 4a V -t- 4pV' -+- (v' — a' — ^')' (3)

est identique.

(*) D'aprè.s le beau théorème de Lagrangc : tout nombre premier, de la forme A\j. ■*- 1, est la somntc de deux carres.

(**) Comme il arrive souvent en Analyse indéterminée, ce procédé simple, qui donne une ififtnitc de sohilions, ne donne pas loufe.^ les soluliotis : par exemple celle-ci :

^***) Pages 10 et suivantes. Ces formules s'appliquent à l'équation générale

III. Remarque. — Pourvu que a, [3, y soient différents de zéro, et cjue l'on n'ait pas y°^ = ar ■+- [3"^, le nombre u-, somme de trois carrés, sera le carré d'une somme de trois carrés (*).

IV. Généralités. — 1" On suppose les nombres x,y,z,u premiers entre eux (**); alors, évidemment, x, y, z sont premiers entre eux; x, y, u sont premiers entre eux; etc.

2° La somme algébrique de trois nombres impairs est impaire; donc // est impossible qu'un seul des quatre nombres x, y, z, u soit pair.

5° Si y et z sont pairs, u et x sont impairs.

k° Supposons y et z, impairs. Alors

. y^ -+- z* = M- — x' = JK (4) H- 2.

Des facteurs u-i- x,u — x, l'un est simplement pair, et l'autre, impair; doni- «/ et a- ne sauraient être entiers. Conséquemment : des trois nombres x, y, z, un seul est impair.

S° Relativement au diviseur 5, on établit, avec la même facilité, les propriélés suivantes :

Un, au moins, des nombres x, y, z, u est divisible par 3; si u est divisible par 5, aucun des nombres x, y, z n'est divisible par 3.