V. Autre solution. — A cause de
si l'on suppose y et z premiers entre eux, on a, par un théorème connu :
w -1- X = a' -4- 6-, M — X = c* -+- rf"; puis
u = 5 [ir -+- b- -t- c' -H f/"), X = f (a* -*- 6* — c' — rf-),
y ^= flc ± 6f/, z = ad ^ br;
(*) Dans le Mémoire cité, j'ai démontré ce théorème : Si u est U7ie so7nme de /rois carrés, u" est une somme de (rois carres.
(**) Afin de n'avoir à considérer que les solutions primitives.
ou, ce qui revient au même :
M = a- -+- 6* -+- c' -+- cP, X ^= a* -»- 6* — c* — tl^, ) ?/ = 2(ac±6rf), z=2{acl^bc). ^
De ces valeurs résulte ridenlilé connue :
{a'-^-b''+c^-i-dy={a + b'—c'—dy-^'t{ac±bdf-^i(a(l^bcY fj; (S) d'où nous aurions pu partir.
VI. Remarques. — On a vu (IV, 4°) que : des trois nombres X, y, z, un seul est impair. Conséquemment, dans l'application des formules (4), on devra prendre a, b, c, d de manière que a^ -h b^ — c^ — d^ soit impair. En d'autres termes : parmi les indéterminées a, b, c, d, une seule doit être paire, ou une seule doit être impaire.
2° Si l'on admettait que, des tt^ois nombres x, y, z, deux, au moins, sont premiers entre eux, les formules (4) donneraient, je pense, toutes les solutions de l'équation (1).
CCLX.1V. — nouvelles propriétés des fouctious X„ {"). (Janvier 1887.) I. Première propriété. —Soit
o 5 'ip -h l
ou, par une sommation facile,
K- r\\-'J^xydx. (2)
(*) Kllc comprend, comme cas particulier, ridonlitc (5). (") Addition à la seconde .\olc sur les fonctions X„ ( /académie de Behjiqnv, aoùH88G).
( «23 ) Si l'on fait ac = sin 9, on trouve
kp^= I *cos''2cp.cos(pf/cp. (3)
Celle intégrale csl celle qui entre dans la formule (V) (*). Donc
r x^[\„ -+- X„2 •+- '■•)dx = A„ (A)
ou
rx''[\ -t- X,,^, 4- .■•)dx = y * V' - 2x')"^/x (A')
II. Detixième propriété. — L'intégration par parties, effectuée sur I égalité (2), donne aisément
{'■ip + i)A„ - 2pA,, = (— \r- (4)
Par conséquent :
III. Troisième propriété. — Si, dans l'équation (4), on change p en p — \, p — 2, .,., 1, on trouve, par addition :
selon que p est pair ou impair (**). Par suite,
/^'[(2p + \)x''{X„ H- X,, -+- ...) - x'-lXp^, -4- X,3 -*- •••) /
— x''-\Xp i H- Xp i H ) Xo'^dx = îoi ou zéro ("*). )
