V. Suite. — La relation (5) équivaut à

f/x[(2p-+- l)(l — Sx-)"— (1 — Sx')"-' (i 2x-) — 1]=- .

Dans la parenthèse, la partie négative égale

(1 — 2xy— I ~ (1 <2x') — I ■

Si donc la différentielle est représentée par F(x)rfx, on a

F(x) = c^p -^ 01^ - ^^•^?-^' - 2(P + <)(i - -ix^r -^- i g^

— 2x- La fraction est la dérivée de

2x Par conséquent :

/'^(2p-^l)(1— 2x-)''"^'-2(«+l)(l-2x-)''-+-J , (1— 2x-)''+'-l / ^ dx= , (D)

/ L£ '1 ' JL '1 J ^/x=(— 1)H-<|. (E)

(*) Premier Mémoire sur le.t fondions \„, p. 10.

VI. Autres inléijrales. — Faisons, conunc prcccdcmmcnl, X = sin (p.

Nous aurons :

/î'(2»-+-1)cos''+*2(p— 2(p-+-i)cos"2cp-4-l cosP+'2(p-1 — ^, — costprfcp = — , ( I) ) sin (p sintp

/'v (2p+ 1 IcosP-^-'Scp -2(w-h1 )cos''2(p-+-l sin>

Addition. — {Juillet 1887.)

VII. Remarques. — 1" Le second membre de (E') ne change pas, quand on y remplace p par p ■+• 2. Conséquemmenl

/î(2»-+-5)cos'2(p-(2p4-6)cos^2çp -(2p4-1 )cos2(p+2/)-»-2 -^- —., eos''2(p.cos(prfq3=0.

sm cp ^ ^

Le numérateur est divisible par

4 — cos2(p = 2 sin'"' (p.

Donc, sous une forme plus simple :

/ ^ [2p -+-2-4- cos2(p — (2p -4- 5)cos'2(p]cos''2(p.coscpc/9 = 0. (F)

2" Cette égalité est une conséquence des formules (5) et (4). On peut récrire ainsi :

/*' [1 {Ap -4- 9) x' -H {ip -H 10) x'] (1 — ^xydx = 0. (G)