CCL.XV1I. — Tliéorcines d'Arltlimètique

{Septembre 188C.)

I. Soit un nombre N, divisible par un nombre premier p. La somme des diviseurs de N, qui donnent des quotienls indépendants de p, égale p — 1 fois la somme des diviseurs qui dorment des quotients contenant p, augmentée de la somme des diviseurs indépendants de p (*).

H. a, b, c étant des nombres entiers, on a

a(y -+- 1) ••• (« -+- c) =fc b{b -«- 1) ■•• (6 -+- c) = JK ( I . '2 .3 ... (c -+- l)(a -+- 6 + c)] (*•).

En effet : 1° le polynôme

x{x -+- I) ••• (.T -+- f) rb j/(î/ -+- 1) ••• (/y -i- c),

s'annule quand on y remplace x par — (// -h c) ;

2° Chacune des parties du premier membre est, comme on sait, divisible par 1 .2 .5 ... (c ■+- 1); ainsi

(a -+- 6 -+- c)cp(a, 6) ^ — ' 11^ J = entier;

puis, tj^ia^ b) désignant un nombre entier :

a[a -+- I) ... (a -+- c) ± 6(6 -+- 1) ■•■ (6 + c) = (a -♦- 6 -\r c)cp(o, 6) (***). m. Remarque. — 5/ a + b -4- c esf premier,

cp(a,6) = .m[l.2 ô... (c-4- d)].

(*) Presque évident

(**) Le signe -t-, si c est pair.

(***) Cette propriété généralise celle-ci :

que Ton trouve dans ma Démonstration du thcorème de Staudt (Note LXXVl),

CCIiXVIII. — Deux intégrales déflnies.

{31ars 1887).