IV. Théorème. — La somme

n'est pas un nombre entier.

(*) Ce calcul ne ditVère pas de celui que Ton trouve dans tous les Traités d'Arilhmélique.

Il y ;i (Ictix cas :'i distiiii^Micr, selon (jiic ii es( premier ou composé :

1" n premier. Posons

A 1 wA -+- IJ

B n 7iB

la fraction g étant supposée irréductible.

Tous les facteurs jjremiers de W sont inférieurs à n; donc B est premier avec n; donc, d'après une propriété connue (*), S est une fraction irréductible.

2" n composé. Soit p le plus grand nombre premier compris dans la suite 2, 3, 4, ... n. D'après le Poslulatum de M. Bertrand, p surpasse ^ ; donc, p ne divise aucun des nombres p -+• \, ... n.

Cela étant, soit

Le dénominateur B est composé de facteurs premiers avec p; donc il est premier avec p; etc.