V. Théorème (**). — Si 2n -i- \ est premier

c2„,„±i = aîL(2«+ I) ri' (S)

On a

A cause de

2n = :2n-+-1 — 1, 2w — 1=:2/n-1 — 2,... n-*-l=2n-t-1 — u, le numérateur a la forme

TTL(2n-+- 1)-t-(— 1)" 1.2.3. ../«.

(*) Si deux fractions irrcduclibles , -, —, ont leurs dénominateurs premiers

entre eux, la fraction — est irréductible.

(**) Connu.

(***) On doit prendre le signe -4-, si n est impair.

Donc

. ,ni(2n-4-i)

Le premier membre est uii nombre enlicr; donc le numérateur de la fraction est divisible par le dénominateur. Et comme les facteurs % 3, ... n sont premiers avec 2n -}- 1, celle fraction est réductible à la forme JR (2« -+- i).

€€IjXX. — Conséquences d'une division algélirique.

(Août 1887.)

I. Soit à déterminer le quotient entier de jc'" par (x — 1)'', el le reste de la division ; de manière que

Si Ton fait x = 1 -4- z, on a

et, par conséquent :

ou bien :

q==.(j:— i)"'--''+(:.,.,,(x-ir-"-'H-(:„,.,(x— 1)'"-" ^^-.. .-+-(:,„.„. (^2) R^(;,.,,,(x- 1)" ' + (:„„„, (x— 1}"-^+ ... -,. 1. (3)

II. En opérant autrement, on peut développer Q suivant les puissances de x. En effet,

donc

ill. Identités. — D'nprùs los formules (2), (4), on a, identiquement.

(a: I)"-;' .+. (;„, ,(j- - \ )•'-/'- ' ^ (;„ ,(x - 1)"'-"-* -+-•••-+- C,„,„ ) el, en particulier