m 1.2.5...HJ— p-Hf

'-'ni.p-rj • ^m-p\q,q-a.-

UOMC

Observons maintenant (|iie, par hi formule (C) :

Conséquemmeni,

puis

ou

Telle est l'expression demandée (*).

VI. Remarques. — 1° La comparaison des valeurs (3), (9) donne ridentité :

et, en particulier :

2" Si V exposant m est premier, tous les termes de R, sauf Co,-i,ni-p> sojîl divisibles par m.

3° Afin d'avoir un énoncé plus simple, remplaçons x"' par a:" — 1. L'égalité (1) devient

x"— l = (x — 1)pQ-4-R', (10)

en supposant

C) Je l'ai trouvée en appliquant la formule de Poisson (Noie LXVIII).

( 146 ) On sait que, m év.\nl premier,

Conséquemment :

Si l'exposant n\ est premier, le reste 11', de la diiisio7i de x'" — I par (x — \y, a tous ses termes divisibles par m (**).

VI. Division arithméti(jue. — Dans régalité (10), remplaçons X par un nombre entier a, tel que, à partir de a = a, on ait constamment

Q > R', ou

(j—1 )"-[€„,„., (x—ir-'-i-C.„,,,(x—I)"-*-^-H-C.,.,,(x-1)]>0; ou, après suppression du facteur x — 1 = z :

z>'-* - rc„,,,z"-^ -H c„,,„,2''--' -+- ... -+- c.,,] > 0. (Il)

II est clair que les valeurs de Q et de K, répondant à x = a, seront le quotient et le reste obtenus en divisant le nombre entier a™ — 1 par le nombre entier (a — \y. En conséquence :

Si a est un nombre entier suffisamment cjrand, et que m soit premier, le reste r, de la division de a™ — 1 par (a — 1)'', est divisible par m.