XI. Autre exemple

F(x) = x'" — 1, /'(x) = x''— 1; puis

cp(x) = x'" '' -4- x'" •'' -4- ••• -+- x'"', (j/(x) = x"*' — - 1 ;

m' désignant le reste de la division de m par p.

Il est clair que a = 2. Ainsi, en particulier : Si l'on divise 3" — 1 par 5* — 1 , le quotient est 5^ h- 5"', e/ /e res/e, 3^ — 1 .

CCIiXXI. — Sur an théorème de 11. Mannlielm (*). (Juillet 1887.)

I. Lemme I, — Soient deux quadrilatères inscriptihles ABCD, ABEF ayant un côté commun AB, et dont les diarjonales coïncident (en direction) : les derniers côtés CD, EF sont parallèles.

Il suffît de démontrer que les angles AEF, ACD sont égaux. Or, si l'on trace les circonférences ABEF, ABCD, on a

AEF = ABF = ABD, ACD = ABD.

II. Lemme II. — Soient deux quadrilatères inscriptihles ABCD, ABGII ayant un côté commun AB, et dont les côtés AD, AH, BC, BG coïncident deux à deux (en direction) : les derniers côtés CD, GH, sont parallèles.

En effet, chacun des angles BCD, BGH est le supplément de BAD.

III. Lemme III. — Soient deux quadrilatères inscriptihles ABEF, ABGII ayaiit un côté commun AB , et tels, que les

(*) Journal de Mathématiques clément aires; Question 254. La prcsonte Note a j)Our objet la généralisation de ce joli théorème.

( i;ii )

côtés A F, IWi (le l'un, coïncident (en direction) avec les diagonales AG, BII de l'autre : les derniers côtés EF, GK sont parallèles.

Même démonstration.

IV. Lemme IV (Réciproque du Lcnimc I). — Soient deux quadrilatères ABCD, ABFF ayant un côté connnu)i AB, dont les diarjonales coïncident (en direction), et dont les derniers côtés CD, EF sont parallèles : ces quadrilatères sont, simultanément, inscriptibles ou non inscriptibles.

Si ABCD est inscriptiblo, les angles DCA, DBA sont égaux. Mais, à cause des parallèles, DCA = FEA. Donc DBE = FEA, et le quadrilatère AFEB est inscriptible.

V. Lemme V {Réciproque du Lemme II). — Soient deux ciuadrilatères ABCD, ABGII aiianl un côté commun AB, dont les côtés AD, AU, BC, BG coïncident deux à deux (en direction), et dont les derniers côtés CD, G II sont parallèles : ces quadrilatères sont, simultanément, inscriptibles ou non inscriptibles.

En effet, les angles correspondants BCD, BGH, sont égaux.

VI. Théorème I. — Soient deux quadrilatères inscriptibles ABCD, ABEF at/ant un côté commun AB, et dont les diagonales coïncident (en direction). 5?" Von prolonge les côtés BE, AF Jusqu'à ce qu'ils rencontrent, en H, G, les côtés AD, BC ; la droite GH sera parallèle à CD, EF et le quadrilatère ABGH sera inscriptible (*).

Si HG n'est point parallèle à EF, soit HG' celte parallèle (**) : ABGH est inscriptible. Menons AG', qui rencontre en F' la droite EF : BEF'A sera inscriptible. Mais, par hypothèse, BEFA est inscriptible; donc F' coïncide avec F.

VIL Remarque. — Dans l' hexagone DFECGH ; 1° les côtés DF, GC, et la diagonale IIE, concourent en B; 2" les côtés CE,

(') Le tliéorème de M. Mannheiin est un cas particulier de celui-ci. (**) Non tracée sur la figure.

HD, et kl diagonale GF, concourent en A ; 5" les côtés EF, GH sont parallèles à la diarjonale VA).

Ce résultai est (raccord avec le ihéorème. connu (*).

VIII. TiiKORi-iME II. — Lu quadrilatère inscriplible , AI3CD, étant donné, on en déduit deiix autres, ABEF, ABGII, tels que ADH, AEC, BCG, AFG, BFD, BEH soient six lignes droites. Cela posé :

\° Si l'un de ceux-ci est inscriplible, l'autre l'est aussi, et les côtés CD, EF, GH so7it parallèles;

2" Si l'un des côtés EF, GH est parallèle à CD, l'autre l'est aussi, et ABEF, ABGH sont inscriptibles.

Addition. — (Septembre 1887.)

IX. Théorème III. — w, w', w" étant trois circonférences décrites sur une corde commune AB; on trace, sucessivement, les

doubles cordes BCCJ, CEA, BEH, HDA, G FA, lesquelles doter-

(*) Tome II, page ^51. Ce tlicorcme est fort ;incien ; car on le trouve dans les Collections malhcmatiqucs, de Pappus. Voir, pir exemple, les l'ropriclex projcdives, de Poiicelet, t. I, pp. S(), S7 (seconde édition).

minciil les sontticts (], (î, li. II, D, V (Viin hexwjone. Cela posé : 1 " Le dernier sommet, F, est situé sur la double corde liD ; !2° les rôles GII, \iV sont parallèles à la diu()onale CD (*).

X. Ueniarfjne. — Si les diarjonales CD, EU, FG se coupent en un même point, Vhexacjonc, appartenant à trois circonférences, est circonscrit à une conique (**).

CC1.X.XII. — ^Biiir iiii (liéorcinc d'AlicI {***).

(Lettre à M. de Saint-(iermain.)

« Hier, 1" mai, voire aimable lellre m'est parvenue : agréez-en » tons mes remcrcienicnls.

» La veille, j'avais reçu la Noie annoncée, lirée du dernier » numéro des Nouvelles Annales. Quand il a paru, j'étais à » VHospice Dubois, gravement malade. Aussi, la livraison est-elle » restée non coupée.

» Il n'en est pas de même pour V extrait : bien (|ue ma tête » soit encore un peu faible ("), je me suis liàlé de la lire (en » partie); et je viens vous communiquer quelques remarques, » suggérées par celle lecture.

» De l'équation

(') Ce théorème, qui nous semble curieux, résume les propriétés précédentes. C'est pourciuoi nous en supprimons la démonstration directe. D'ailleurs, au moyen d'une projection conique, on pourrait le généraliser encore.

(*■) Théorème de Brianchon.

(***) Complément à la Note LXVII.

('") « Elle l'est encore trop pour que je puisse étudier votre démon- » stration, bien compliquée ».

('} a Je pense que vous avez, sous les yeux, ma Note sur un théorème » d'Abel ».

» on ne peut, diies-vous, conclure

. F(M = /■(//) -H ?„(/>); » 6 étant la valeur extrême de x. Pourquoi ?

» Contestez-vous que la limite de la somme de deux quantités est éfjale à la somme des limites de celles-ci?

» Lorsque, de » on déduit

» ou

» F(x)=/"(j-) -t-®(x), » limF(x) ^= limfix) -+- limc^{x), . F(6) = /-(6)-f-cp(6),

» il est sous-entendu que ^(x), par exemple, varie d'une » manière continue, de x < 6 à x = 6. Si, pour x = b, 9(jr) est » discontinue, il n'y a plus, ni démonstration, )ti théorème.

» Si je ne me trompe, ceci arrive pour l'exemple choisi par 0 vous, exemple qui ne me semble pas topique.

u En effet, x étant inférieur à l'unité, on peut, dans le » développement de 4^(1 -»- x), grouper arbitrairement les » termes, et écrire, par exemple,

.ir, \'ni — 0 4// — I "in

• Mais, lorsque x=l, ce groupement arbitraire nesi plus » permis (Th. de Dirichlet). Aussi, au lieu de trouver

» obtenez-vous :

=Uu-)-

» Que résulte-t-il de là, sauf erreur? C'est que la quanlitù Ix x' • J'

1 5 'il \i« — 5 4n — 1 2?i

» est discontinue pour x = 1 (**).

» Vous avez donc, me semble-t-il, appliqué mon (?) théorème » au cas formellement exclus; et, trouvant un résultat inadmissible » (ce qui devait arriver), vous en avez conclu que le théorème » est faux. Est-ce bien raisonné? Je m'en rapporte à vous.

» Si vous pensez, mon cher Collègue, (lu'un extrait de cette » lettre puisse intéresser les lecteurs des N. A., je vous prie de » la faire imprimer (avec vos répliques, bien entendu) (***). » Dans toute discussion, peu importe qui a tort ou qui a raison : » le principal est que la vérité se fasse jour » .

n Votre bien dévoué vieux Collègue, E. C.

o Liège, 2 mai 1885. »

(*) » N'ayant pas le temps de vérifier ce résultat, je m'en rapporte à » votre affirmation o.

(*') « X claiit inférieur à 1, elle est

» si « =: 1, elle est

« Eryo... n.

(***) M. de Saint-Germain m'a répondu dans les Nouvelles Annales. A son article, j'ai riposté par une lettre. Le procès est encore pendant. (Mai 1888.)

( lo6 )

CCIi^XIII. — Rcitiar(|ues sur l'iiitéjçrale

A = / J({1 — 2acosx -H a')</x (*).

{Septembre 1887.)

1. Les valeurs de A ont été trouvées par Poisson (Journal de l'École polytechnique, ly"*""" Cahier, p. 017); mais ce grand Géomètre a commis, dans sa démonstration, une singulière inadveitance.

« Soit » , dit Poisson,

« M = log(l — 2a CCS x H- a''); (1)

)' d'où l'on lire

du 1 — a^

da \ — 2a ces x -\- d^

» Pour lixcr les idées, supposons a < 1 ; nous aurons, en série » convergente,

1 H- acosx -t- «"cos2j: -+- a'^cosôx -^ •••; (5)

\ — 2acosx -+- a^

» et, par conséquent,

» — = cosx -+- acos2x -+- a"cos3x -+- ••• (4)

» Intégrant par rapport à a, et observant que u est nul en » même temps que a, il vient

» — u = a ces X H cos 2.1- h ces 3x -+- ••• ; ('))

(*) Celte Note a cle publiée, en partie, dans la Nouvelle ('orrcspomlance vialhémalique (t. I).

( 1-'^7 ) » d'où Ton coiulul

/ udx = I log(l — 2acosx -+- a^)(lx = 0.