I. On lit, dans la Théorie des iSoiubres
« Théorème. — Tout nombre premier A est de la forme
» Considérons plus généralement l'équation
» AA' = // -+- q^ -+- r^ ■*- s^
» dans laquelle chacun des nombres p, q, r, s, sera supposé » moindre que ^A, on aura A'A < f A-, ou A' < A (***). » Et d'abord si on avait A'= 1, il est clair que A serait » égal à la somme de quatre carrés, et la proposition serait » démontrée (").
» Soit donc A' > 1, et parce que A' est diviseur de » jo^ -4- q2 -4- r^ + s^, il sera aussi diviseur de la quantité
» {p — aA')- -+- (7 — [SA')- -t- (r — 7'A')' -t- (s ~ oA'f ,
» a, [3, y, d étant pris à volonté. Supposons qu'on prenne ces » indéterminées de manière qu'aucun des termes p — aA', » q — (3 A', etc., n'excède ^ A' Ç): alors si l'on fait
„ A'A" = {p — aA')- -+- (7 — {îA')- -+- (r — yA^'f -+- (s — oA')-,
» on aura A'A " < ^Â'A' ou A" < A'. Maintenant si au moyen » de la formule du n° 150 (") on multiplie la valeur de A A' par
(•) Addition à la Note CCXVIII.
(**) Tome I, page 214, édition de i850. ('**) Voir la Remarque (A).
(") Voir la Remarque (B).
(') Remarque (C).
(»i) Faute typogra|)hique : on doit lire io2. Voir la Remarque (D).
» celle de A'A", on trouvera pour [)ro(iuii une somme de quatre » carrés dont chacun sera divisible par A'A'; de sorte qu'en .. divisant tout par A'^, on aura
« AA" = (A — ixp — pq — yr — osY -+- {'/q — |i/) -h y s — àrf -t- {ar — rp ■*- âq — psf -+- (a.s — op -h pr — rv)*
» Cela posé, si on a A"=1, la proposition sera démontrée; » mais si on a A" > 1, on procédera de la même manière pour » obtenir un nouveau produit AA'" exprimé par quatre carrés, » et dans lequel on aura A'" < A". Continuant ainsi la suite des » entiers décroissants A, A', A", A'", etc., on parviendra néces- » sairemenl à un terme égal à l'unité; donc alors le nombre » premier A sera exprimé par la somme de quatre carrés (*). »
(A) Soit
N ^=/)^ -+- q- ■+- r' 4- .s* = AA'; {\)
et, par conséquent, A > [/i\. Un nombre donné, N, n'admet pas, nécessairement, un diviseur premier, supérieur à (/]\. Par exemple, si N = 27, le plus grand facteur premier de N est 3.
Legendre ne démontre donc pas le théorème énoncé : il prouve, tout au plus, celui-ci :
Si un nombre N est la somme de quatre carres, tout cliiiseur de N, supérieur à [/N, est la somme de quatre carrés.
D'après la Remarque (A), la proposition ne serait pas démontrée.
(C) On doit avoir, non
p — « A' ^iA', mais
il s'agit de la valeur numérique de j) — aA'.
(■) licmnrquc (K).
La formule citée est celle dlMiler :
= ipp' -+- 77' -+- rr' H- ss'f ■»- {pq' — qp' -f- rs' — sr'f / (2) -+- {pr' — 7s' — rp' -4- 57')^ -^ ips' -4- qr' — rq' — sp'f. )
Si l'on fait :
p' = p — «A', q' = q — (3A', r' = r — rA', .s' = .s — rJA'; (3)
elle devient
AA'*A"= [p^ -4- 7^ -+- r -4- s'* — A'(pa -+- qp -+- rr -+- -so)]*
-4- [p(7 — pA') -q{p — olA') -4-r (s — rJA') — s(r— y A')]' -+- \p{r — ?-A') — 7 (s — (JA'j — r(jo — aA') -t- 5(7 — |3A')]' -+- [p(s — r;A') -+- 7(r — rA') — r(7 — pA') — s(/) — «A' )]l
Le second membre égalant
[AA' — A'(pa + 7p-+- rr -4- scîlj^-H [(a7 — Pp)A'-4- (rs — dV)A'j^ + [(ar — rp) A' -4- ((^7 — ps) A']' + [a.s — ^Ip) A' -4- (^r — r7) A'},
il reste
A A" = (A — ap — |37 — rr — hf -4- (a7 — pp -+- rs — o;f ) -4- (ar — rp -t- '■^7 — ps)^ -+- (as — ^p -4- pr — r7)^ )
comme l'écrit Legendre.
On a vu, dans la Remarque i^k), que le théorème énoncé n'est nullement démontré. Il en est de même, par conséquent, pour le théorème de Fermât : « Un nombre quelconque est la somme » de quatre ou d'un moindre nombre de carrés » (*).
(*) Théorie des Nombres, t. I, p. 215. L'illustre Auteur se contente de dire : « C'est une conséquence immédiate de la proposition qu'on vien » de démontrer, et du Icmmc qui la précède. »
Autres I{e)narqiics.
I. Lagrange, à qui l'on doit la première démonslralion du tlicoréme de Fermât, n'a pas commis les inexactitudes que nous venons de signaler; néanmoins, celte démonstration ne nous semble pas irréprochable. Après avoir énoncé ainsi la proposition préliminaire :
o Si la somme de quatre carrés est divible par un nombre » premier plus grand que la racine carrée de la même somme, » ce nombre sera nécessairement égal à la somme de quatre )) carrés (*) », et l'avoir prouvée très péniblement, Lagrange ajoute :
« Corollaire. — Si im nombre premier quelconque est un ). diviseur de la somme de quatre carrés qui n'aient point de » commun diviseur, ce nombre sera aussi la somme de quatre >• carrés.
« Car nommant, comme ci-dessus, A le nombre premier » donné et p'^ -+- ç- -+- r'^ -4- s^ le nombre composé de quatre » carrés qui est divisible par A, il est clair que, si chacune des » racines p, q, r, s était moindre que ~, on aurait
). de sorte que A serait plus grand que f//)^ -+- q- + /- -i- s-
.. comme on l'a supposé dans le Théorème précédeni ; donc, etc.
.. Or je dis que quels que soient les nombres p, q, ..., on peut
i> toujours les réduire à être moindres que j; car soit, par
» exemple, p > | , il est visible que si
p- -+- q' -+- ?•" -H s' » est divisible par A,
ip — »iA)" -4- (/" -t- ;•• -+- S'
(') OEuvrcs de Lagrange, publiées par Souri, l. III, p. 103. Les défauts que nous venons de signaler ont clé aggravés par Le Bosgue. dans ses Exercices d'Arialyse nuinériq\tc (pp. tOtî, 107). lis me semblent avoir été évités par Scrrcl [Cours d'Myèhrc fiipcririirc, troisièiiu- éililinn, t. II. p. î)i).
( ifi3 )
» le sera aussi, de inènu: (|im'
(»»iA — pY -+- ç* -«- ;•* -+- «• ... »
Ceci fait, l'illusire Géomèlre élablil cet autre ihéorème auxiliaire :
Étant donné nu nombre premier A, on peut tovjours déterminer deux nombre entiers, a, b, tels, que a^ -f- b^ -t- 1 soit divisible par A (*).
II. On peui former, bien simplement, la valeur de A". En effet, des équations
AA' = 2p^ A'A" = 2(/^-«A7, on lire
m. Dans ridenlilé d'Euler (D), changeons de notation, de manière que l'égalité
(a- -+- p' H- r' -t- rf)[a."' -+- p'- -+- y'- -+- <■}'-) = p^ ^ q^ ^ ?•- h- g^ ^6)
soit vérifiée par :
p = OCX -\- ^jB' -+- yy' -+- oV, \
(J = — [5a' H- ap' — oy' ■+- yi'
— ■va.' -+■ op' •\- a.y' — p^, (
fîa ivft' -l- Piv' -4- nîi'
s = — ^a — yp' -+- py' -i- v.^ .
Si Ton pose
il résulte, des équations précédentes :
Aa' =^ pcL — qp — ry — sS, \
kp' = pP -\- qa. -\- rS — sy^ I
Ar'= pr — 75 -(- ra -î- s|3, A(î' = po -+- qy — rp -+- Sa.;
(*) Legendre commence par là {Théorie des iXombres, (. f, p. iiU).
puis
[pa — oS — ry — s^\ * /pS -+- r/a-+- ro — sy
, (10) py — (f'j-i-ra-^spy fp'j-^qy — rS-i-sx]' j ^^ ^ ^
Si chaque 'fraction était réductible à un nombre entier, le théorème suivant serait démontré :
Soit ]\= AA', les trois nombres étant entiers. Si i\ e? A sont, chacun, la somme de quatre carrés entiers, le quotient de N par A est, également, la somme de quatre carrés entiers.
Mais celte conclusion (vraie) serait trop précipitée.
Prenons, par exemple,
N=462, A = 66, A' =7; puis
Nous trouvons, par les formules (9) :
et
bb
ff'^
En conséquence :
1° ^i un nombre iN, é^/a/ « la so}nme de quatre carrés entiers, est divisible par un nombre A, égal à la somme de quatre carrés entiers, le quotient - peut se présenter sous la forme d'une sonune de quatre carrés fractionnaires;
{') Si l'on veut, au moyen des formules (9), trouver des valeurs de a', p\ o', y', qui soient entières, on peut faire
<]iiaiitilés dont la soiiinie des carrés est H\'2. Il résulte, de ces iiypotlièses :
( iCo )
2" In nombre entier peut être la soniine de quatre carrés fractionnaires (*).
Par exem|i
lie,
Vil V2!
(il) -
/29\-^ Ci Y
= In) -" Itt) -^
Itt,
etc. n-
IV. Si l'on admet le théorème de Fermai, il on résulle celui-ci, généralisation du théorème d'Eulcr, employé par Lagrange :
Tout nombre entier est, d'une infinité de manières, égal à la somme de quatre carrés fractionnaires (***).
CCIilLXV. — Sur uu thcorèiiic de Gauss.
(Septembre 1887.)
I. A la page 285 du Journal de Liouville (tome II, 1837), Le Besgue s'énonce ainsi :
« De là ce théorème de M. Gauss :
» La quantité
1 ^l){i>li— I) ••■(/; -4- 1;
» est toujours égale à
, (mod. p)
» en prenant
» et
zt: I, = 1 -4- 4» B
(*) Ces remarques, peut-être nouvelles, complètent ce que Ton a vu dans la Note CCXVIII.
(**) Dans chaque décomposition, les numérateurs doivent, bien entendu, être premiers entre eux.
('**) Voir, ci-dessus, les décompositions de 7,
Autrement dit :
« Soit un nombre premier
p = L* -+- 4M* » En supposant L = 1 -4- 4n, on a
= J\l{p) àz L. . (A)
Prenons n=6, m=0, M=1 ; valeurs d'où résultent L=\,p=^. Nous devons trouver :
4 12.11. 10.9.8 .7 i 1... 5. 4. 5.0 --J1^(»)^'ou
2 = JR(o)dbl; ce qui est faux.
Soient «=6, u= — \, M=l; et, par conséquent, L=— 5, ;; = 15. L'égalité (A) devient
ll.6.7 = .m.(13)±5, ou
7 = J[T.(13)drô; ce qui est faux.
II. L'énoncé de Le Besgue est donc inexact. Voici celui que donne Jacobi (*) :
« Sit p numerus =4'k.-4- 1, alque resohatur in duo quadrala » ee -4- ff, désignante ee quadratum inipar, ff quadratum par, » fore db e residuum minimum (quod inter — \p et -h ^p conti- » nelur), numeri
1 (fc-t- l)(A--t-2)(fc-4-5)...2Â:
» /;er p divisi; hoc insuper residuum )niniinuui per i dirisum
(*) Journal de Crclle, t. II, p. 69. C'est à propos d'une recherche particulière que j'ai rencontré, par hasard, les Notes de Le Besgue cl de Jacobi. Il ne m'a pas été possible de trouver, dans les OËuvres de Gaiiss, le théorème en question.
» soniper residuum -h I , ri'linrjucrc ; ita ut sit mit nnmerns ncf/n- ■ tivus fortune — (4n -f- 5), nul positivus fonnac 4ii -+- 1 ».
Ainsi, le nombre enlier h (ou n) n'est point arbitraire : il égale ^-^.
CCIiXXVI. — K^^ercloe sur un l*rol>lènic de Caéoiuétrie éléiiicutaEre.
{Octobre- Novembre 1887.)
Construire un (/uadrilatère convexe P, dont le périmètre I et les angles A, B, C, D sont donnés.
