II

(*) C'est le llicorèiiu' suppose ci-i\cssu$ (15).

Or

A, = — //'(/(//' - f-) - </li'= — h'(p — (f — hh'l A, =-- l\hh • - D -- l<f ^- - l\l -' -^g^- hh-), A*= ru-<fl<l>'-<f = y{r-f~hh'). Donc, au lien do la formule (52) :

expression remarquable (*).

l<t. Revenant aux valeurs (51), nous avons

l^'A = sin^M — sin*N — sin(M -+- N)sin(.\ -4- P), on

2\/Â = — C0S-2M -t- cos'2N — cos(iM — P) -t- ces (M -+- 2N -t- P);

et , si P = n — M :

Ainsi, quand le quadrilatère Q est hucriptible (ce qui a lieu), le déterminant A est nul.

(') D'après une application donnée par M. Dostor, dans sa Théorie des déterminants (p. 62), on a

r~g' — hh'= —1,0, f

A 9, -hh'

Ainsi : le déterminant \ , à seize éléments, est le carré d'un déterminant à neuf éléments. D'ailleurs, par un théorème de Cauchy, a est un déterminant à neuf éléments ; savoir :

l+yS (g, 9(1 -h h')

[g, IH-A -f{\+hh')

9{\ - hh'), - f[\ -+- A/.'), r -+- 9' + /»'/'"

Nous ferons encore observer que, d'après celte formule, ou d'après la formule (53),. la valeur de A dépend, uniquement, de f de g, et du produit hh'.

17. Comme les équations (20), ... (23) ne sont pas incompalibles, et que le dénominateur A est nu\ , les nuinérateurs des valeurs des inconnues (*) doivent, de toute nécessité, être nuls. Par exemple, le numérateur de la valeur de m étant (après suppression du facteur /)

cos— ,